第六章习题解答（DOC文档下载）-仲恺农业工程学院

1．用冲激响应不变法将以下)(sHa变换为)(zH，抽样周期为T。为任意正整数,)()()2()()()1(022nssAsHbasassHnaa分析：①冲激响应不变法满足)()()(nThthnhanTta，T为抽样间隔。这种变换法必须)(sHa先用部分分式展开。②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][nnSntL,nantsaSSAsHtuntAeth)()()()!1()(010，可求出)()()(kTThtThkhakTta，又dzzdXzkkx)()(，则可递推求解。解:(1)jbasjbasbasassHa1121)()(22)(21)()()(tueethtjbatjbaa由冲激响应不变法可得：)(2)()()()(nueeTnTThnhnTjbanTjbaa11011112)()(zeezeeTznhzHjbTaTjbTaTnn2211cos21cos1zebTzebTzeTaTaTaT(2)先引用拉氏变换的结论1!nnsntL可得：nassAsH)()(0)()!1()(10tuntAethntsa则)()!1()()()(10kunkTAeTTkThkhnkTsadzzdXzkkxazkuaZZk)()(,11)(1且按)11()()!1()()!1()()(111111000zedzdznATezknTTAzkhzHTsnnkkTsnnkk可得,3,2)1(1,1)(111000nzezeATnzeATzHnTsTSnTs，可以递推求得：2.已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(sssHa而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的)('sHa中的s变量用502s来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(sssHsHaa设系统抽样频率为Hzfs500，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，)()()(nTgtgnganTta,由模拟系统函数)(sHa变换成数字系统函数的关系式为：}]])([{[1)(1nTtassHLZzzzH，还要用到一些变换关系式。解:根据书上公式可得模拟滤波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：)(1)(sHssGaa)108696044.928830.444(108696044.9424sss22)14415.222()14415.222(14415.222)14415.222(1sss由于20200)()()(sinastuteLat2020)()()(cosasastuteLatstuL1)(故)()(1sGLtgaau(t))]}14415.222cos()14415.222[sin(1{14415.222ttet则)()(nTgngau(n))]}T14415.222cos()T14415.222[sin(1{nT14415.222nne利用以下z变换关系：)()(zXnxZ)()(zeXnxeZaTnaT1cos2sin)()(sin2aTzzaTznunaTZ1cos2cos)()(cos22aTzzaTzznunaTZ1)(zznuZ且代入a=222.14415sfTs310250011可得阶跃响应的z变换)()(ngZzG41124070.01580459.130339071.0122zzzzzz)41124070.01580459.1)(1(10784999.014534481.022zzzzz由此可得数字低通滤波器的系统函数为：)(1)(zGzzzH212141124070.01580459.1110784999.014534481.0zzzz3．设有一模拟滤波器11)(2sssHa抽样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数)(zH。分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为1111zzcs。解：由变换公式1111zzcs及Tc2可得：T=2时：1111zzs1111|)()(zzsasHzH11111111211zzzz2213)1(zz4．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统抽样频率为1kHz。分析：双线性变换关系同上题，先要用归一化的巴特沃思滤波器（1c）。利用css/关系代入其中得到截止频率为c的模拟巴特沃思滤波器，然后变换成数字巴特沃思滤波器。解:归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：14142136.11121)(22sssssHa则将css代入得出截止频率为c的模拟原型为1)200(4142136.1)200(1)(2sssHa18.39478458.88818.3947842ss由双线性变换公式可得：11112|)()(zzTsasHzH18.394784)11102(58.888)11102(18.3947841132113zzzz21214241.01683.11)21(064.0zzzz5.试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设sradc1）。分析：巴特沃思逼近或称最平幅度逼近，其幅度平方函数定义为因而，的极点在左半平面的极点即为而可得：在上式中代入)()()()(11)()()(11)(222sHsHsHjssHsHsjjjjHaaaNcaaNca来确定。时由，其中，1)(0,....2,1)()(00]21221[10sHsKNkesssKsHaNkjckNkka此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，不是归一化滤波器）。注意(3c解:幅度平方函数为：42)/(11|)(|cjH令22s，则有4)/(11)()(caassHsH各极点满足下式：]4122[kjckes，k=1,2,3,4则k=1,2时，所得的ks即为)(sHa的极点：2222431jesjc223223452jesjc由以上两个极点构成的系统函数为3233)(3,1)(0323))(()(2020210sssHksHssskssssksHaaa所以可得时代入6.试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为2dB，归一化截止频率为sradc1。(试用不同于书本的解法解答）分析：切贝雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中(通带或阻带)具有等波纹特性；一种是在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的,称为切贝雪夫I型；一种是在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切贝雪夫II型。切贝雪夫I型滤波器的幅度平方函数为：)(11)(222cNaCjH由上式可以看出切贝雪夫滤波器有三个参数：。,,cN此三个参数给定后，可以求得滤波器的系统函型切贝雪夫滤波器的幅，可以证明。数I)(sHa度平方函数的极点为：kkkjs其中（k=1,2,…,2N）)1(1,)1(1)12(2cos)12(2sin11shNchbshNshakNbkNackck其中注意在求系统函数分子的系数时，对切贝雪夫滤波器，时，偶数，当对)0(0sN为通带的极大值。奇数时对，而不是，是通带的极小值有1)0()1(11)0(2aaHNH解:7647831.05848932.05848932.011011022.010211则，由于dB因为截止频率为sradc2，则-0.804222)765.01(21)4sin()1(14sin111shshshNshacc）（378.1222)765.01(21)4cos()1(1)4cos(111shchshNchbcc0116057.17943282.02735362.17943282.011)0()0(022735362.1608.10116057.1))(()(378.1804.0378.1804.02221121AHsNssssssAsHjssjsaa可求得时，有故是偶数，因为则则7.已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注明其变换方法。模拟—模拟频带变换数字化(a)先模拟频带变换，再数字化(b)把(a)的两步合成一步直接设计数字化数字—数字频带变换(c)先数字化，再进行数字频带变换8.某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下：(1)巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计；(2)当Hzf5.20时，衰减小于3dB；模拟归一化原型模拟低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻数字低通、高通、带通、带阻数字低通数字低通、高通、带通、带阻模拟归一化原型模拟归一化原型(3)当Hzf50时，衰减大于或等于40dB；(4)抽样频率Hzfs200。试确定系统函数)(zH,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。分析：由模拟角频率先用线性变换变成数字角频率（T），将数字滤波器然后采用频率预畸法),22(iitgT各临界频率i变换成样本模拟滤波器的各临界频率i。用这些i来设计“样本”模拟滤波器的系统函数)(sHa，然后再用双线性变换得到数字滤波器的系统函数。解：3s105f1T2200150224020015.222TfTfststcc采用双线性变换法:)2(tgT2由指标要求得：404tg400jH20380tg400jH20a10a10|)((|log|)((|log又N2c2a)(11)j(H故])([log|)(|logN2c10a10110jH2040)4(4001log103)80(4001log10210210NcNctgjtgj因而取等号计算，则有：)2(.............10]/)4/(400[(1)1(............10]/)80/(400[1423.02NcNctgtg得42.1)]80/(/1log[)]110/()110log[(213.04tgN取N=2,代入(1)式使通带边沿满足要求，7.15c可得又二阶归一化巴特沃思滤波器为：1s4142136.1s1)s(H2a代入c/ss：5.246s2.22s5.246)s(H2a由双线性变换1111400|)()(zzsasHz