有限元法问答题整理

Chapter1绪论1.有限元法的优点（1）概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）（2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（3）计算规格化（矩阵），便于计算机编程。2.简述有限元基本思想区域剖分，分片插值。将连续体分割为有限个相互间通过节点铰接的小单元，来近似代替原来的连续体；设置节点上的待求函数值为问题的基本未知量，每个单元内用插值的方法，根据待定节点位移假设出单元上的简单位移分布，把无限自由度问题转化为有限自由度问题。用每个单元内假设的近似函数来分片表示全求解域内的待求未知场变量，未知场函数由节点参数和插值函数表示。3.谈谈你学习有限元的看法有限元本质是一种偏微分方程的数值解法，力学意义上体现了场函数的离散化思想。数学基础（数分、线代、泛函、计算方法），弹性力学的基础，理论结合实际（Fortran和ANSYS）。4.谈谈个人看法，有限元在工程中的应用随着市场竞争的加剧，产品更新周期愈来愈短，企业对新技术的需求更加迫切，而有限元数值模拟技术是提升产品质量、缩短设计周期、提高产品竞争力的一项有效手段，所以，随着计算机技术和计算方法的发展，有限元法在工程设计和科研领域得到了越来越广泛的重视和应用，已经成为解决复杂工程分析计算问题的有效途径，从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器、国防军工、船舶、铁道、石化、能源和科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃。5.结合个人认识谈谈有限元发展（1）为真实模拟新材料、新结构的行为，发展单元类型、新材料本构关系；（2）为分析模拟各类形式的结构在复杂工况和环境作用下的全寿命过程的响应，需要发展新的数值分析方案；（3）有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展系统；（4）非线性；耦合场；Chapter2平面问题1.有限元法的位移函数或位移模式是什么？单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数。2.如何确定位移模式？把位移函数设定为简单的多项式。选取时应考虑：（1）位移函数的个数=单元中任意一点的位移分量个数（2）位移函数是坐标的函数（3）待定常数个数=单元节点自由度总数（4）位移函数必须包含单元的刚体位移和常应变（完备性）（5）位移函数在单元内要连续，相邻单元要尽量协调（位移协调条件）3.如何构造位移函数保证几何各向同性，一般选为完全多项式。为实现完备性和协调条件的要求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由度数。4.位移法解有限元用到的弹性力学中的方程（有限元应用弹性力学什么基本方程&位移法中用到的弹性力学方程）几何方程&物理方程zuxwzwywzvyvxvyuxuzxzyzyxyx,,,zxzxyxzzyzyzxzyyxyxyzyxxEEEEEE)1(2)],([1)1(2)],([1)1(2)],([15.有限元解收敛于真实解的条件完备性（位移函数必须包含单元的刚体位移和常应变）是必要条件；协调性（位移函数在单元内要连续，相邻单元要尽量协调）是充分条件。6.形函数定义、性质定义：形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。性质：（1）形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点上的值等于0。（形函数值）（2）在单元中任一点，所有形函数之和等于1。（3）三角形单元的边界ij上任一点（x，y）的形函数与顶点m无关：（4）形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为，式中ij为ij边的长度。4322343223221yxyyxy　xxyxyy　xxy　xyxyx　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7.三角形单元形函数8.三角形三节点单元应变矩阵9.简述单元刚度矩阵性质（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义，主对角线上元素kii(i=1,nj)恒为正值。（2）单元刚度矩阵的每一行或每一列元素之和为零（3）[k]e是对称矩阵（4）单元刚度矩阵是奇异矩阵（5）单元刚度矩阵是常量矩阵10.简述刚度矩阵的整合假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有：[]{}{}eeekF将上述这些方程集合起来（整体坐标下叠加），便可得到整个结构的平衡方程。为此，需要将[k]e、{δ}e、{F}e体积膨胀，分别扩大为ne×ne、ne×1和ne×1的矩阵才能相加。膨胀后，原有节点号对应位置的元素不变，而其它元素均为零。组装方法：建立一个体积为n1×n1的方阵，按单元序号依次把结构坐标单元刚度矩阵的元素放入该方阵中。放入方法：（1）按单元节点编码对号入座；（2）同位置元素累加。11.整体刚度矩阵的特性（单元刚度矩阵和整体刚度矩阵的特性）基本同单刚；⑥稀疏性12.举例说明结构（总体）刚度矩阵是稀疏矩阵13.平面三节点三角形单元刚度矩阵的元素大小与什么因素有关，与什么因素无关。决定于该单元的形状、大小、方位和弹性模量（泊松比），而与单元位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。14.体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件线性位移模式15.单元平衡方程如何建立（应变能+外力势能，最小势能原理，推导）16.面积坐标与直角坐标的关系17.面积坐标导数]][][][[][mjiBBBB01[]0(,,)2iiiiibBcijmcbiiiiiNmjiycxbaAL　　),,()(2118.学过哪些结点单元，有哪些优缺点，比较两个学过的：3、6节点三角形单元，4节点矩形单元；4节点四面体单元；轴对称三角形单元；杆梁板壳单元；三角形单元&矩形单元三角形单元采用线性位移模式，常应变单元；矩形单元双线性位移模式，不是常应变单元，弹性体中采用相同数目节点时，精度高于三角形单元。但缺点：不能适应斜交和曲线边界；不便于对不同部位采用不同大小的单元。因此常混合使用。19.位移解法的边界条件20.离散结构时，节点选择和单元划分需要注意什么（题号109）节点选择：集中载荷作用点、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都应取为节点；单元划分：注意不要把厚度不同或材料不同的区域划分到同一单元里；在保证精度的前提下力求采用较少的单元，急剧细平缓粗；单元三条边长度不宜悬殊太大。21.举例说明三种网格划分的不合理（a）单元节点交叉编号；（b）单元内角大于180°；（c）单元两对节点重合，网格面积为零。22.为什么用半带宽存储【第二章2-10】结构刚度矩阵具有稀疏性、对称正定性，非零元素分布的规则性（适当编排节点号码，使同一单元相邻号码差距小些），采用半带宽存储，用直接解法解线性方程组，有效节省计算机内存和提高解题速度。mmjjiimmjjiimmjjiimmjjiiLAcLAcLAcLyLLyLLyLyLAbLAbLAbLxLLxLLxLx22222223.存储半带宽时的最大半带宽的计算公式&给了一张图，求最大半带宽（100）=(+)× （：相邻节点号最大差值；：节点自由度数）24.给定一个弹性力学问题，如何提高有限元解析精度更换更加合理的单元；加密网格划分。25.应力计算结果的整理：绕节点平均法&两单元平均法绕节点：环绕一点各单元平均→该点，内点好边界点差两单元：相邻单元平均→公共边界中点26.什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？节点力：单元与单元之间通过节点相互作用；节点载荷：作用于节点上的外载；27.何谓平面应力问题？何谓平面应变问题？应力应变状态如何？如何判断？举例说明？平面应力问题：作用于很薄的板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用；平面应变问题：长柱体的横截面沿长度方向不变，作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力。28.三角形单元线性分布表面力计算等效节点力Chapter3空间问题1.常用的空间单元常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元2.四节点四面体单元位移模式和形函数3.10节点四面体单元的形函数N=2(−1) =44.写出空间四面体单元的应变矩阵表达式123456789101112uaaxayazvaaxayazwaaxayaz0000001[](,,,)0600iiiiiiiiiibcdBijmpcbVdcdb5.对比平面三角形单元与空间轴对称三角形单元相同和不同都是二维的三角形单元，有相同的位移模式和形函数。空间轴对称三角形单元多了一个环向应变分量，且不是常数，不是常应变单元，但单元较小时可以将r和z近似为形心的r和z，因此近似为常应变单元。Chapter4等参单元1.等参单元定义单元的位移模式和坐标变换式采用相同形函数（阶次相等），同时用以规定单元形状的节点数等于用以规定单元位移的节点数，这种单元称为等参单元。2.等参单元的优越性适应斜线边界和曲线边界；提高精度。3.写出四边形八节点等参单元的位移模式，并说明如何满足完备性和协调性条件（8节点四边形单元的位移模式，形函数，位移模式的完备性）位移模式：2162152141321211109282726524321aaaaaaaavaaaaaaaau形函数（用试凑法）：2/)1)(1(4/)1)(1)(1(2/)1)(1(4/)1)(1)(1(2/)1)(1(4/)1)(1)(1(2/)1)(1(4/)1)(1)(1(287265243221NNNNNNNN协调性：将ξη平面上的正方形映射为xy平面上的曲边四边形。xy平面上每一条边都是一条二次曲线，它由对应边上3个结点的坐标唯一确定，满足协调性。完备性：设u=++，代入有u=a∑+a(∑)+a(∑)，由于∑=，∑=，∑=1，有u=a+a+a，v同理。（P85）4.试分析下列平面单元中的位移在两单元公共边界上的连续性：（1）三节点三角形单元；（2）四节点矩形单元；（3）六节点三角形单元；（4）四节点四边形等参单元；（5）八节点曲线四边形等参数单元。（1）（2）（4）每条边为直线，由两个节点坐标确定；（3）（5）每条边为二次曲线，由三个节点坐标确定。5.平面三角形单元能否看成等参数单元，如能，其母元（标准元）为何？按等参单元定义进行解释。能；直角等腰三角形；以三角形单元的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，通过坐标变换所获得的单元。Chapter6杆单元1.剪弯梁的位移模式=dv/dx，仅一个位移是独立的，取v。342321)(xaxaxaaxv2.坐标变换矩阵的定义，试写出杆单元的坐标变换矩阵把单元位移从整体坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号[T]表示。平面杆单元：Chapter7板壳单元1.薄板的克希霍夫假设（1）薄板中面法线变形后仍保持为直线。由此，板中面内剪应变为零，即0zxzy。（2）忽略板中面的法向应力分量，且不计其引起的应变。（3）薄板中面内的各点没有平行于中面的位移，即中面不变形，当0,0zuv。利用上述假设将平板弯曲问题转化为二维问题，且全