概率方法在不等式证明中的应用

1概率方法在不等式证明中的应用引言：不等式在我们生活、学习中无处不在，初中、高中乃至大学，各种形态各异的不等式出现在我们身边，而不等式的求解则变成了一大难题。在学习了概率论后，设想如果能将随机思想运用于解不等式中，则该问题便可迎刃而解。实际上，对于一些积分不等式、级数不等式、三角函数不等式等，如果我们可构造概率模型、引入随机变量、随机事件，再利用概率中数学期望的性质、概率的单调性等概率知识，那么就能够大大简化不等式的证明过程，且又清晰明了、通俗易懂。一、利用概率的单调性证明不等式在证明不等式时，如果能够发现有两个或三个介于(0,1)之间的量，那么可以将其设为某些事件的概率，然后巧妙运用概率的性质如单调性、规范性等，从而方便快捷地解决不等式的证明问题。例1设),1,0(,,zyx求证：1)1)(1()1()1()1)(1(xzyxzyxzy（I）用概率论方法证明：证明：因为),1,0(,,zyx所以设,)(,)(,zCPyBPxAP）（其中CBA、、为独立事件，则由性质1可得：)(1CBAP)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPxyzyzxzxyzyx所以得：1)1)(1()1()1()1)(1(xzyxzyxzy（II）用构建一次函数证明：证明：构造一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上zzyxzyxzzyy)1()1()1()1()1(xf(x)当0x时，zzy)1()0(f1)1(1)0(fzzyyzz1y2)01,01)......(1)(1(-zyzy0所以1)0(f当1x时，)1()1()1(fzyy1)1()1(1)1(fzyy)0,......(-yzzoy0所以1)1(f因为)(fx是一次函数，且,1)0(f1)1(f所以在]1,0[上，恒有1)(fx即1)1)(1()1()1()1)(1(xzyxzyxzy对比：对比以上两种解题方法，可以鲜明地看出运用概率论知识来证明不等式方便简单，避免了分类讨论和一些繁琐的计算化简。例2已知],2,0[x求证：2)4sin(212sin4xx分析原式即,2cossin1cossin24xxxx由条件知,1sin0x.1sin0x所以即需证.cossin1cossin2xxxx即需证1cossincossinxxxx成立，显然利用概率模型来证极为简单。证明:设两独立事件A和.B即.cos)(,sin)(xBPxAP则)()()()(ABPBPAPBAP1cossincossinxxxx所以.cossin1cossin2xxxx因为],2,0[x故,0cos,0sinxx即得2cossin1cossin24xxxx。所以2)4sin(212sin4xx3例3证明：若a,b,c为三角形三边的长，且,1acb则.214222abccba(第23届全苏数学奥林匹克试题)证明：cba,,为三角形三边的长,120cbaa同理.120,120cb设CBA,,为三个独立事件，且.2)(,2)(,2)(cCPbBPaAP则)(1CBAP)()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPabccabcabcba8)(4)(2abccba8)1(22222从而有214222abccba小结：根据题意建立概率模型，设定随机变量，将不等式中的未知量用模型中的事件来替换，就可利用概率中事件之间的关系列出不等式，从而获得证明。这种思路方法也可适用解决生活当中的一些不等关系，给我们生活带来便捷。二、利用切比雪夫不等式证明与概率有关的不等式定理1（切比雪夫Chebyshev不等式）设随机变量X的数学期望X，方差2DX,则对于任意正数，成立不等式：22XP.证明：略。切比雪夫不等式估计出随机变量在区间XX,内取值的概率不小于221，由此可知：若方差2越小，则概率XXP越大，说明随机变量X取值在数学期望X附近的密集程度越高；若方差2越大，则概率XXP越小，说明随机变4量X取值在数学期望X附近的密集程度越低。切比雪夫不等式说明方差刻画了随机变量的取值对其期望的离散程度。当随机变量的分布未知时，由期望与方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息(实用性强)，利用这个信息可以粗略估计(估计粗糙)随机变量落入关于其数学期望对称区间内(有限制)的概率。例4设X的概率密度函数为,0!)(xemxxPxm试证：1120mmmxP[1]证明：mxmxmmmmmmmdxexmdxemxxX01201!!12!1!1!123!1!0mmmmdxemxxXxmm因此，1211222mmmmXXXD由切比雪夫不等式取,1m对随机变量X有21/1111mmmmXP即1120mmmxP引理1设随机变量X的数学期望EX=0，方差2DX，则对于任意正数ε，成立不等式：222XP证明：对任意的实数x0,利用马尔可夫不等式，有2222222xxxxxxXxXPxXPXP记222xxxf则2x时f(x)达到最小值，此时222xf，命题得证。根据该引理，容易得到下列定理。5定理2（单边切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望EX=μ，方差2DX,则对于任意正数ε，成立不等式：222XP,222XP[2]例5将n(n5)个人的帽子充分混合后每个人随机地从中取出一顶，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：记i=1,2,…,n.设个人没拿到自己的帽子，第个人拿到自己帽子第iiXi0,1，则帽子和人配对数X可表示为niiXX1由于nXPXii11，22111nnnnDXi111|111,1nnXXPXPXXPXXijijiji11,2nnXXXXXXCovjijiji所以11niiXX，11121,2221nnCnnXXCovDXDXnnijijii利用单边切比雪夫不等式，有0588.04114152XPXP.三、利用数学期望的性质证明不等式1）利用方差的非负性由方差的定义及重要计算公式222--D有22(1)利用上述方差的非负性，可使得一些分式不等式或积分不等式很快得到证明，避免繁琐的推导过程。例6设Rzyx,,，且,1zyx求证：3694x1zy222--06证明：由题设，可设离散型随机变量X的概率分布列为X1/x2/y3/zPxyz则,6xzyX94x1222XEX∴3694x1zy例7设，，为锐角，且,1sinsinsin222则1sinsinsinsinsinsin222[3]证明：由,1sinsinsin222得.1sinsinsinsinsinsin0构造随机变量的函数分布列：,sinsinsinsinP,sinsinsinsinP,sinsinsinsinP.sinsinsinsinsinsin10P则,sinsinsinsinsinsin3332,1sinsinsin222由22，得.1sinsinsinsinsinsin333小结：由上面的例子可以看出，利用方差的非负性证明分式不等式时，关键在于灵活构造随机变量的概率分布列，但必须注意满足概率非负，且其和为1的条件。例8若xf在ba,上非负连续，bxfa1，则1sincos22babakxdxxfkxdxxf证明：∵xf在ba,上非负连续，又bxfa1，由概率密度函数定义，xf是某取值7在ba,上的随机变量ξ的密度。令kksin,cos21badxxkxfcos1badxxkxf221cos由（1）2211得babakxdxxfkxdxxf22coscos(2)同理2222∴babakxdxxfkxdxxf22sinsin(3)由（2）+（3）有babbbababadxxfdxkxkxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxfkxdxxf1sincossincossincos22aa22222）利用Jensen不等式定义1（凸函数）设f为在区间I上的函数，若对I上的任意两点21,xx和任意实数)1,0(总有),()1()())1((2121xfxfxxf则称f为I上的凸函数。定义2（凹函数）设f为在区间I上的函数，若对I上的任意两点21,xx和任意实数)1,0(总有),()1()())1((2121xfxfxxf则称f为I上的凹函数。定理3（Jensen不等式）设是一随机变量，取值于区间(,)ab，(1)若baxxgy,,是连续的凸函数，那么如果和g存在，则gg；(2)若baxxgy,,是连续的凹函数，那么如果和g存在，则gg[4]8例9设xf在1,0上非负连续，则10ln10edxxfdxxf证明：令,1,0~U则密度别处,01,0,1xxP，fln∴xf在1,0上非负连续，存在。令,gyeyyg为凸函数。1010ln1lndxxfdxxf，dxxfdxegxf1010ln1由gg，即10ln10edxxfdxxf例10设t在ba,上连续，ba,，xf在上位可微凸函数，则babadttabfdttfab11[3]证明：令,,~baUff∵t在ba,上连续，xf在上可微凸函数∴xf在ba,上可积，存在.dttfabdtabtffbaba11bababadttfabffdttabdtabt.1,11由ffbabadttabfdttfab11例11若xf在ba,上连续，且xf,则dxxfab