搜索
相似理论与模拟实验例题例1静态应力模型这是一个弹性模型，可求解静态应力问题。a、求导准则平衡方程：几何方程：000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂ZyyxYzyxXzyxzyzxzzyyxyzxyxxστττστττσxux∂∂=εxvyuxy∂∂+∂∂=γ物理方程：单值条件：几何相似：物理相似：体力相似：边界条件：[])(1zyxxEσσμσε+−='''LLyyxxcL===''vvcEcvE=∑=''γγγ==XXcZZYYXXcX′=′=′=非定性量（被测量）：应力：应变：位移：''xyxyxxCττσσσ===L''''εεεεεεεεε====zzyyxxc'''δδδ===VVUUc采用方程分析法求相似准则：对于平衡方程：相似指标：,相似准则π1=①由几何方程：，л2=②0'''''''=+∂∂+∂∂+∂∂XczccyccxccLzxLyxLxγσσσττσ0)('''''''=+∂∂+∂∂+∂∂XzyxccczxyxxLττσγσ1=Lcccγσ'''LLγσγσ=1.=δεcccLδεL由物理方程：,л3=③cu=1л4=u④由面力边界：л5=⑤由于上面5个准则是由5个不同方程求得的，故是相互独立的。1=σεcccEσεE1=−σccxσx对于为广义相似对于c时，为严格相似，最好采用。但对于一些相似材料模型试验，当C=2～8时，在小变形情况下所引起的应力误差5%，这在工程上是允许的。但在大变形情况下，不精确。1=σεcccE1=εε对于严格相似（C）时，有：1=ε1=Lcccγσ1=δccL1=σccE1=γc1=σcxc如对于一个软弱岩体高边坡问题，原型为20m高，试验室内可采用相似材料模型试验，取1m，则cL=20/1=20,可采用石膏作相似材料，通过试验可知：CE=，由得：即（石膏的混合料比岩石大10倍，很难，找不到这种材料。）为此：取≠1而是=5，则，故可在石膏中加铁屑即可。这就是说，不是非取1不可，在小变形范围内，可取2'=EE1=Lcccγσ'101202γγσγ====Lcccγγ10'=εcεc102*5.===Ecccεσ212025=×==LEccccεγγγ2'=εcεc8≤对于相似材料试验，如果：Cl=20，Cr=1/2，CE=2，Cu=1则有：Cε=CrCl/CE=5Cδ=CεCl=5*20=100但对于大多数结构试验，采用严格相似，则=1，这时不考虑自重应力场，上部荷载采用施加边界面力模拟。10=−xCεc例2对钢筋钢纤维高强混凝土梁或柱的强度特性（极限承载力）试验研究。由于钢筋钢纤维高强混凝土结构的强度高，几何尺寸大，不易进行原型的破坏性试验，可采用缩尺结构模型。根据试验目的，此类试验不但要搞清加载过程中结构截面上的应力分布情况，而且还要测量模型的破坏荷载。所以，模型设计不但要满足应力、变形的相似条件，而且还要满足强度相似条件。根据相似理论和弹性力学的基本方程，采用方程分析法，可推导出其静力模型相似指标为：模型试验相似指标为：由几何方程得：/Cδ=1；由边界方程得：Cp/Cσ=1；由物理方程得：CECε/Cσ=1，。其中：Cl为几何相似常数；Cp为荷载（面力）相似常数；lCCε1=vCCE为弹性模量相似常数；Cδ为位移相似常数；Cε为应变相似常数；Cσ为应力相似常数；Cv为泊松比相似常数。钢筋钢纤维高强混凝土结构是由三种材料组成的复合结构，要使模型和原型各组成部分应力变形严格相似，必须要使加载变形前后结构模型与原型始终保持几何相似，故有Cl=Cδ，即Cε=1，因此，上述应力变形相似条件可写为：Cp/Cσ=1；CECε/Cσ=1；Cv=1（1）为了使模型的破坏荷载和破坏形态与原结构完全相似，不但要满足上述弹性状态下应力应变相似，而且还要满足以下强度相似条件：强度相似条件：(a)模型与原型的材料，在加载全过程中应力应变曲线相似；(b)结构各部分材料的强度相似；(c)结构破坏的强度准则相似。显而易见，要完全满足上述相似条件，模型材料最好采用结构的材料,这样易于保证模型试验结果与原型结构严格相似。因此，试验采用原材料结构模型，故有：CE=Cσ=Cp=CR=1；Cμ=1；Cρ=1(2)式中CR为强度相似常数；Cμ为钢筋配筋率相似常数；Cρ为钢纤维体积率的相似常数。在这种情况下，只要确定适当的几何相似常数就可以了。试验得到的模型强度就等于结构强度。例3、一钢桥跨度10m，最大集中荷重为10t，现用一个1m长，几何形状与钢桥相似之梁作试验，求桥的应力。解假设应力与荷载P，长度L和材料弹性模量E有关。则可写出方程（1）将（1）式转换成准则方程（2）令：即（3）σ(),,,0fPLEσ=22,,,0KKfPKLMEMMσ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠11LMPK==11MLKP⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭将（3）式代入（2）式得：（4）由(4)式得到两个准则：221111,,,011PPfPLEPLLLσ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠22,1,1,0LELfPPσ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠21LPσπ=22ELPπ=①当试验模型的材料与钢桥材料相同（即E相同）时，则（5）根据相似定理。经转换得（6）因E相同，即，则，则。即当材料相同时，其模型与钢桥的对应点上之应力相等。因此21322ELEPLPππσπσ=='3'EEπσσ==''EECCEσσσ===1EC=1Cσ='σσ=()'σσ=（7）则即（8）因，则。代入（1）式得：()2''21'LLPPσσπ=='2''ppLLσσ=⎛⎞⎜⎟⎝⎠2PlCCCσ=1,EECCCσ==1Cσ=2PlCC=钢桥长10m,模型长1m，则。（9）原钢桥上集中荷载。则模型对应处应力荷载此时所测的应力值即为钢桥对应点的应力值。若模型所用材料与钢桥材料不同时，且已知两者弹性模量之比。则10==101lC22'=10100PlPCCP==='100PP=()'10*1000P1000.1100kgt=='σσ'2EECE==()2''22'ELELPPπ==可导出则（10）从（5）式可得：。即即模型上所测得应力仅为钢桥上对应点应力之1/2。也就是说，钢桥上对应点应力。当模型长度仍为1m时，从（10）式可得：（11）22PElCCC==22PlCC=2ECCσ==''2,2σσσσ=='σ'2σσ=2'2(10)200PPCP===()'10*1000500.05200200PPkgt===此时，由于弹性模量之缩比，则带来模型试验时加载减少，同时测得的应力亦小于原型对应点应力。均小了2倍(因）。1EC≠2EC=例4、已知梁受力后变形方程为：（1）式中E—弹性模数；J—转动惯量；y—变形；l—梁的长度；M（x）--弯矩；K—系数；q—荷载。试求准则。解①设一与（1）式相似之梁受力后的变形方程为：（2）式中符号同（1）。()222dyEJMxKqldl==()()2'2''''2'dyEJKqldl=②写出单值条件的相似常数式：（3）③将（3）式代入（1）式得：（4）''''';;EIylqEJCCEJylCCylqCq⎫==⎪⎪⎪==⎬⎪⎪=⎪⎭()()'2'2''''22'dyEJqllCyCECJkCqClCdl=比较（5）式和（2）式得：（6）④将（3）式代入（6）式得：()()2'2''''24'dEJyqlCCCyEJkqlCCdl=41EJyqlCCCCC=()'''44''1EJyEJyqlql=准则（7）由（7）式可得变形。本例中参数n=5个，基本量有[L],[K](即m,kg)两个，K=2。根据π定理可知其准则数为π=n-k=5-2=3个。也就是说不是独立的准则，而是由几个准则组成的准则。⑤将分解为：()'''44''EJyEJyidemqlqlπ===4qlyEJπ=4EJyqlπ=4EJyqlπ=（8）（8）式中，，均为无因次数群，也就是说均是准则。且正好是n-k=5-2=3个。故从（1）式进行相似转换后得3个准则为：（9）4JElylqlπ=4JlElqyl1423JlElqylπππ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭例5在半无限的平面内，不稳定导热的方程是：（0x∞）（1）式中t—温度，℃；τ—时间，h；a—导温系数，㎡/h；x—距离，m。试求准则。解①设与（1）式相似之模型的导热方程为：（2）式中符号同（1）式。22ttaxτ∂∂=∂∂()()'2'''2''0ttaxxτ∂∂=∞∂∂pp②写出单值条件的相似常数式（3）③将（3）式代入（1）式得：即（4）'''';;taltCCtaxCCaxτττ⎫==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭()'2''2'2'ttalCtCtCaCCxττ∂∂=∂∂()2'2''2''laCttaCCxττ∂∂=∂∂比较（4）式和（2）式得：（5）④将（3）式代入（5）式得经整理得。21laCCCτ=()22'''1xxaaττ=()''22'aaxxττπ==（1）式中有4个参数（n=4）。基本量[L];[T];[D](k=3),则准则数为n-k=4-3=1个。导出之准则称傅里叶（J.Fourier）准则，记为：02aFxτ=例6、求在半无限平面的不稳定导热的准则方程。解：①罗列参数，写出现象的函数式。已知在半无限平面不稳定导热问题的影响参数有：温度；时间；导温系数；几何量；导热系数；结冰时单位体积潜热；冻结壁面位置；初始温度；冻结温度；冷源温度。λξ0tDtyttτaxδ则可写出以下函数式（1）②写出π项式（2）③列出各参数的基本因次()()000yDtttttϕτλδξ⎡⎤−−=⎣⎦、、a、x、、、、、()()00hikbcdefgyDtaxttttπτλδξ=−−[][][][][][][][][]211113;;;;;;tDTaLTxLQTLDQLτλδ−−−−−==⎡⎤==⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦式中L—长度；T—时间;D—温度；Q—热量。④把各物理量纲代入π项式，列出因次（量纲）等价式（3）（3）[][][][][]00;;yDLttDttDξ⎡⎤=−=⎣⎦−=[][][][][][][][][][][][]21111323cefkbdghikehibcecdefgefDTLTLQTLDQLLDDDTLQππ−−−−−−++−−+−−++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⑤根据因次齐次原则，列出物理量指数间的联立方程（4）。因[π]为无因次量故：（4）⑥解方程（4）。因（4）式有9个未知数，但只有4个方程式，故为不定解方程，必须先设其中5个未知数为定值。002300kehibcecdefgef−++=−−=+−⎫⎪⎪⎬−+=+=⎪⎪⎭现令k=b=c=d=i=1,则得：则由（2）式得准则：（5）0032efgh⎧⎪⎪⎨===−=−⎪⎪⎩()()0230Dytaxttttτπξ−=−（5）式之准则为非独立准则。也就是说由几个准则组合而成。现将其分解为：()()()()()02300200DyDyytaxttttttaxtttttτπξτξξ−=−−••=•−−令（傅里叶准则）（几何准则）102aFτπξ==2xπξ=30040yDytttttttππ=−−=−1234πππππ=令k=b=c=d=e=1,则由（4）式中的b-c-e=0得1-1-1=0，这说明令值不合理。有时令值后方程无解也说明令值不妥（当方程无解时，说明不存在这种组合，当求值均等于0时，说明由于令值不妥而有些准则漏失了）。令k=c=d=e=h=1时，则得：2115bfig⎧==−=⎪−=⎨−⎪⎪⎪⎩则由（2）式得准则：（6）将上式分解为：()()2050yDtaxttttτλπδξ−=−()()22005200yyDDtaxttttaxtttattτλτλπδξξξδ−−⎛⎞==•••⎜⎟−−⎝⎠22102aFτπξ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠（几何准则）或（常称科索维奇准则）则。2xπξ=3011taKctλπδδ===30ctKπδ==040yDttttπ−=−1234πππππ=如果再作新的令值就有新的解，但分解后的准则形式都可得到，几何准