天津大学现代控制理论习题课

周天薇[e-mail]135161369811-2有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压作为输出量的输出方程。由电路原理可知：由图，令i1=x1，i2=x2，uc=x3，输出y=R2x2电路方程：ueiRdtdiLaaaa=++dtdKebθ=e为反电势动力学方程：aTikdtdfdtdJ=+θθ2令：==aixxxxθθ321uxRxkxLfxxkxJxxabaT+−−=−==32323221uLxxxLRLkJkJfxxxaaaabT+−−−=10000010321321===3211]001[xxxxyθfJ,θaLaiaRu电枢电压：u电机转角：θ电机电枢回路电阻：Ra电枢回路电感：La电枢回路电流：ia折算到电机轴上的转动惯量：J粘性摩擦系数：fkT:电动机的力矩系数Kb:电动机的交电势系数21-4两输入u1,u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。1-4两输入u1,u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。21uu010000011-4两输入u1,u2，两输出,的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。21uu01000001010000011-6已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图)3)(1()1(10)(++−=sssssW33/201103/10)3)(1()1(10)(+−+++−=++−=ssssssssWuxx+−−=111300010000[]xy3/20103/10−−=1-6已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图2)3)(2()1(6)(+++=sssssWsssssssssW3/12333/10)3(4)3)(2()1(6)(22++++−++−=+++=uxx+−−−=11100000020000300013[]xy3/133/104−−=1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数uxxxxuxxxxx23132321321221+−+−=+−−==1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）uxxxx+−−=1021122121[]xy01=0=−AIλ11−=λ32−=λ−=1111T−=−212121211T[]11=cT−=−21211bT约旦标准型:uxxxx−+−−=21213001~~2121[]xy~11=2-3已知矩阵−=452100010A试用拉氏反变换法求。Ate−−−−=−4521001sssAsI()()()()()()()()()()−−+−−+−−+−+−−−−+−−+−−−+−−+−−+−+−−−−+−−+−−−+−−+−−+−+−−−−+−=−−22222222211113241318281214241112221315241212221111211312221221ssssssssssssssssssssssssssAsI−−++−−−−−++−−−−−++−=−=−−ttttttttttttttttttttttttttAtteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteeeteesILe3438824422354222322])1[(22222222211te2-6求下列状态空间表达式的解：初始状态输入是单位阶跃函数。3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？(3)系统如下式：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a≠0,b≠0。要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c≠0,d≠0。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数αi和βi(1)构造能控阵：要使系统完全能控，则构造能观阵：要使系统完全能观，则21αα≠21αα≠==2101ααCACN[]++==432111ααααAbbM[]01,11,4321===CbAαααα3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数αi和βi(2)构造能控阵：要使系统完全能控，则构造能观阵：要使系统完全能观，则4321αααα+≠+02≠α−−==13414101002CACACN[]+−−+−−−==323233232323213414143318221ββββββββββββbAAbbM[]100,1,41030120032==−−=CbAββ3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数αi和βi(3)构造能控阵：要使系统完全能控，则构造能观阵：系统完全能观0)det(≠M系统为能观标准Ⅱ型故能观完全能控，则输入到状态传递函数分子分母不可约3-4设系统的传递函数是(1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。3-4设系统的传递函数是（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型3-4设系统的传递函数是（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。由对偶原理，系统的能观标准II型为课后题例4-22已知系统结构图t0,T其传函分别为：11)(1−=ssT)2)(1(1)(2+−−=ssssT系统传函:)2)(1(1)()()(21++==sssTsTsT对消s=1，但系统本质不稳定！状态方程：uxx−+−−=210100120011[]xy100=系统传函:)2)(1(1)()()(1++=−=−ssBAsICsusy必有一状态不能控或不能观！课后题例4-22状态方程：uxx−+−−=210100120011[]xy100=系统能控及能观判别矩阵的秩：−−−−=2221041310M−=111011001N2)(=Mrank3)(=Nrank故系统能观不能控！−−=122241610P−−−−=−4114124164164112415412641114181PuzBuPAPzPz+−−=+=−−00110023132011[]zCPzy610==不能控！课后题例4-22分解后系统如下：uzzzzz++−−=0123312032121u33zz=6uzBuPAPzPz+−−=+=−−00110023132011[]zCPzy610==3zy++当时，y中有，系统是不稳定的。0)0(3≠ztez)0(63当系统传递函数中存在零极点对消现象时，系统存在不可控或不可观的状态。这种系统是非最小实现系统。3-9已知系统的传递函数为，试求其能控标准型和能观标准型。系统的能控标准I型为：系统的能观标准II型为：3-11试将下列系统按能控性进行分解构造非奇异变换阵：（1）系统不是完全能控（满秩）3-12试将下列系统按能观性进行结构分解构造非奇异变换阵：（2）系统不是完全能观[]111,100,041020122−==−−−−=CbA−−−==1211011112CACACN−−−=−1001011111oR−−−−=100011110oRuxbuRxARRxooo−+−−−=+=−−111~134032010~~11[]xxCRyo~001~==3-16从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明图中闭环系统的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的ΣoΣuy∑∑==−−=Σniimjjopszs11)()(∑∑∑===−−−−=Σ−Σ=Σmjjniimjjoozspszs111)()()(1两种情况：1不能控或不能观2能控能观一致4-1判断下列二次型函数的符号性质：(1)因此Q(x)是负定的4-1判断下列二次型函数的符号性质：(2)因此Q(x)不是正定的4-3试用Lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。(1)系统唯一的平衡状态是选取Lyapunov函数是负定的。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-3试用Lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。(2)系统唯一的平衡状态是选取Lyapunov函数是负定的。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-10已知非线性系统状态方程：)(221211221xxaxaxxx+−==试证明在a10,a20时系统是大范围渐近稳定的系统唯一的平衡状态是选取Lyapunov函数即系统在原点处大范围渐近稳定。0)(22211+=xxaxV0222)(2221222111≤−=+=xxaxxxxaxV由状态方程可知，当a1≡0时，a2≡0。故在非原点处不可恒为0。是半负定的。5-2设系统状态方程为：uxx+−−−=10001010110010试设计一状态反馈阵是闭环系统极点配置为-10，31j±−−−=990100101101001000M3)(=Mrank特征多项式为：期望特征多项式为：比较各对应项系数：][210kkkK=01222310)101011()1011())(det()(kkkkBKAIf−−−+−+=+−=λλλλλ402412)31)(31)(10()(23+++=−++++=∗λλλλλλλjjf−=−=−=1.02.14210kkk故：[]1.02.14−−−=K5-3有系统:画出模拟结构图。系统模拟结构图如下：(1)5-3有系统:若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是完全能控。系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。5-3有系统:若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。(3)设：特征多项式为：期望特征多项式为：22)3())(det()(1012+−−−+=+−=kkkBKAIfλλλλ比较各对应项系数3,110−=−=kk故[][]3110−−==kkK5-5试判断下列系统通过状态反馈能否镇定。(1)系统的能控阵为：系统能控。可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。5-8已知系统：(1)判别系统能否用状态反馈实现解耦uxx−+−−−=10