高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解1第一章函数、极限、连续第1节函数★基本内容学习一基本概念和性质1函数的定义设有两个变量x和y，变量x的变域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：yfx。2函数概念的两要素①定义域：自变量x的变化范围②对应关系：给定x值,求y值的方法。3函数的三种表示方法①显式：形如yfx的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0Fxy，如椭圆函数22221xyab。③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212xvtygt称作参数式。参数式将两个变量的问题转化为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。4函数的四个基本性质高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解2①奇偶性：设函数fx在对称区间X上有定义，如果对于xX恒有()()fxfx(或)()()fxfx，则称fx为偶函数(或fx奇函数)。注：偶函数fx图形关于y轴对称，奇函数fx的图形关于坐标原点对称。②有界性：设函数fx在区间X上有定义,如果0M,使得对一切xX,恒有：fxM,则称fx在区间X上有界；若不存在这样的0M，则称fx在区间X上无界.注：函数fx有无界是相对于某个区间而言的。③周期性：设函数fx在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T，使对任一xX，恒有fxTfx则称fx是以T为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T称为函数fx的周期。④单调性：设函数fx在区间X上有定义，如果对1212,,xxXxx,恒有：12fxfx(或12fxfx)则称fx在区间X上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,xxXxx,恒有：12fxfx(或12fxfx)则称fx在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。5其它函数定义①复合函数：设函数yfu的定义域为fD，而函数ux的定义域是D值域为Z，若fDZ，则称函数yfx为x的复合函数，它的定义域是{x∣()}fxDxD且。这里表示空集。②反函数：设函数yfx的值域为fZ，如果对于fZ中任一y值，从关系式yfx中可确定唯一的一个x值，则称变量x为变量y的函数，记为：xy，高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解3其中y称为函数yfx的反函数，习惯上yfx的反函数记为：1yfx。6初等函数①常值函数C(C为常数)，xR②幂函数yxR，定义域由确定，但不论如何，在(0,)内总有定义。③指数函数xya(0a且1a)xR④对数函数logxay(0a且1a)(0,)x⑤三角函数如sin,yxxR；cos,yxxR；tanyx,(,),22xkkkZ；cot,x(,(1)),xkkkZ等⑥反三角函数arcsin,yx[1,1]x；arccos,yx[1,1]x；arctanyx,xR；arccotyx,xR.以上六类函数称基本初等函数。由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。7分段函数一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。常见的分段函数：①符号函数10,sgn00,10.xyxxx当当当②取整函数[]x表示不超过x的最大整数；[]xn,当1nxn，其中n为整数。③狄利克莱(Dirichlet)函数10xyfxx当为有理数时,当为无理数时.高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解4④绝对值函数,0,0xxxxx★基本题型训练一典型例题1判断函数的等价性例1.1下列各题中，函数()fx与()gx是否相同？为什么？(1)2()lg,()2lg;fxxgxx(2)2(),();fxxgxx(3)3433(),()1fxxxgxxx；(4)22()1,()sectanfxgxxx；解：(1)不相同，因为2lgx的定义域是(,0)(0,)，而2lgx的定义域是(0,)。(2)不相同，因为两者对应法则不同，当0x时，()gxx。(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。(4)不相同，因为两者定义域不同。2求函数的定义域例1.2设(1)fx的定义域为[0,](0)aa则()fx的定义域为多少？解：函数(1)fx的定义域是指x的变化范围，即01,1,11xatxta令则。故对函数()fx而言，t的变化范围为[1,1]a，由函数表达式的“变量无关性”，知：()fx的定义域为[1,1]a。常见错误：[1,1]a。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为01xa，由此得到11xa。3判断函数奇偶性例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解5(1)2sin,xyex(2)2log(1)ayxx(0,1)aa解：(1)因为sinx为奇函数，2x为偶函数，所以2sinxyex为奇函数。(2)2221()log(1)loglog(1)()1aaafxxaxxfxxx,故()fx为奇函数4判断函数的周期性例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。(1)cos(2)yx(2)1sinyx解(1)cos(2)yx是周期函数，周期为2；(2)1sinyx是周期函数，周期是25判断函数单调性例1.6设()fx在(,)上有定义，且对任意x，(,)y有()()fxfyxy证明()()Fxfxx在(,)上单调增加。证明：设1212,(,),xxxx所以212121()()fxfxxxxx，而122121()()()()fxfxfxfxxx所以1122()()fxxfxx所以12()()FxFx即()Fx在(,)上单调增加。6求反函数例1.7求函数1111xyx的反函数高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解6解：令1tx，则11tyt。所以11yty，即111yxy，所以221411(1)yyxyy，所以反函数24(1)xyx即为所求。7复合函数求法例1.8设1,0(),2,0xxfxxx2,0(),0xxgxxx则[()]fgx等于多少？解：当0x时，()gxx0，所以当0x时有[()]fgx1x；当0x时，2()0gxx所以0x时有2[()]2fgxx，故21,0[()]2,0xxfgxxx。注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。(2)代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。(3)图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：①先画出中间变量函数ux的图形；②把yfu的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线)；③写出u在不同区间段上x所对应的变化区间；④将③所得结果代入yfu中，便得yfx的表达式及相应x的变高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解7化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。二能力拓展例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，NM表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数。(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数。(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数。(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数。[A]解法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF当F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见选(A)。解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)；令f(x)=x，则取F(x)=221x，排除(D)；故应选(A)。例2设1,1()0,1xfxx则{[()]}fffx等于。(A)0(B)1(C)1,10,1xx(D)0,11,1xx解：由[()]ffx＝1得，{[()]}fffx＝1，故应选(B)高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解8★函数理论框架图第2节极限与连续性★基本内容学习一基本概念1极限的概念定义2.1lim0,nnxa一个正整数N,当nN时，恒有高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解9nxa。若nx存在极限，称{}nx收敛，否则称{}nx发散。定义2.2lim()0,xfxa一个整数X，当xX时，有()fxa定义2.30lim()0,xxfxa正数，当00xx时，有()fxa2数列、函数极限的基本性质与相关定理定理2.1(极限的不等式性质)设limnnxa，limnnyb若ab，则N，当nN时，nnxy；若nN时，nnxy，则ab。定理2.2(极限的唯一性)设limnnxa，limnnxb则ab。定理2.3(收敛数列的有界性)设nx收敛，则nx有界（即0,,1,2,nMxMn常数）。定理2.4(极限的不等式性质)设0lim()xxfxA，0lim()xxgxB若AB则0，当00xx时()()fxgx；若()()fxgx(00xx)，则AB。[推论](极限的保号性)若0lim,00xxfxAAA或,则存在一个0，当000,,xxxxx时，0fx(或0fx)。定理2.5(极限的唯一性)设0lim()xxfxA，0lim()xxfxB则AB。定理2.6(夹逼准则)设在0x的领域内，恒有xfxx，且00limlimxxxxxxA，则0limxxfxA。定理2.7(单调有界准则)单调有界数列nx必有极限。3函数连续性定义定义2.1设函数fx在0x的某领域内有定义，给x在0x处以增量x，相应高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解10地得到函数增量00yfxxfx。若极限0lim0xy，则称fx在0xx处连续。定义2.2设函数fx满足条件：(1)fx在0x的某领域内有定义；(2)0limxxfx存在；(3)00limxxfxfx则称fx在0xx处连续。定义2.3若fx在,ab内任一点均连续，则称fx在,ab内连续