中考数学复习专题-代数式

page1of7中考数学复习专题代数式一.教学目标：1.复习整式的有关概念，整式的运算2.理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。3.掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。4.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。二.教学重点、难点：因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。三.知识要点：知识点1整式的概念升降幂排列系数项数多项式的次数多项式系数单项式的次数单项式整式——————（1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；多项式的次数是多项式中最高次项的次数；（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号（4）同类项概念的两个相同与两个无关：两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；（5）整式加减的实质是合并同类项；（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。知识点2整式的运算（如结构图）page2of7知识点3因式分解多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式),(cbamcmbmam其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．（2）运用公式法，即用)baba)(ba(ba,)ba(bab2a),ba)(ba(ba223322222写出结果．（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式,2qpxx寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则);)((2bxaxqpxx对于一般的二次三项式),0(2acbxax寻找满足a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则).)((22112cxacxacbxax（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.（5）求根公式法：如果),0(02acbxax有两个根x1，x2，那么)xx)(xx(acbxax212。知识点4分式的概念单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式nnnmnnmnmnmbaabaaaaa幂的运算乘法公式因式分解提公因式法公式法22bababa提公因式法2222bababapage3of7（1）分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成BA的形式。如果除式B中含有字母，那么称BA为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。（2）分式的约分（3）分式的通分知识点5分式的性质（1）)0(mBABnAm（2）已知分式ba，分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的值为零：a＝0且b0；分式有意义：b0。（3）零指数)0(10aa（4）负整数指数).p,0a(a1app为正整数（5）整数幂的运算性质nnnmnnmnmnmnmnmba)ab(,a)a(),0a(aaa,aaa上述等式中的m、n可以是0或负整数．知识点6根式的有关概念1.平方根：若x2＝a（a0），则x叫做a的平方根，记为a。注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；2.算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；3.立方根：若x3＝a（a0），则x叫做a的立方根，记为3a。4.最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。5.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。知识点7二次根式的性质①)0(aa是一个非负数；②)0()(2aaa③)0a(a)0a(0)0a(a|a|)a(2④)0,0(bababa⑤)0,0(babaab知识点8二次根式的运算（1）二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．（2）二次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即).0b,0a(abba二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．（3）二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或page4of7分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．例1.如果单项式13nmyax与525yxm的和①为0时，a、m、n各为多少？②仍为一个单项式，a、m、n各为多少？解：①51n3m2m5a2n1m5a②51n3m2m2n1ma为有理数例2.因式分解：（1）2294mymx（2）1)(2)(2baba（3）－2x2＋5xy＋2y2解：①原式＝m（2x＋3y）（2x－3y）②原式2)1ba(③令0y2xy5x222∴4y16y25y5x22∴y4415x原式＝－2（x－y4415）（x－y4415）例3.（1）已知))(123(2kaaa的结果中不含2a项，求k的值；（2）kaaa23的一个因式是1a，求k的值；解：（1）a2的系数为：3k－2＝0∴k＝32（2）当a＝－1时（－1）3－（－1）2＋（－1）＋k＝0∴k＝3例4.利用简便方法计算：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）的值，你能确定积的个位数是几吗？解：（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）（216＋1）（232＋1）＝264－1∵264的个位数为6∴积的个位数字为5例5.x为何值时，下列分式的值为0?无意义？（1）22xx（2）22322xxxx解：当①x＝2②x＝1时为零当③x＝－2④x＝2，x＝－1时分式无意义例6.分式的约分与通分1.约分：1n21n21n2n2yx4.1yx8.02.通分cb5a42，ba10c32，2ac2b5解：①原式＝2y7x4②2223108cbaca,2223103Cbabc,22231025cbaab例7.先化简后再求值：1x11x2x3x2x1x3x222，其中12x原式＝)1)(1(3xxx×)3)(1()1(2xxx＋11x＝11x＋11x＝122xx当x＝2＋1时，原式＝1例8.若最简二次根式2431212aa与是同类二次根式，求a的值。例题精讲page5of7解：1＋a＝4a2－2＝0,a1＝1，a2＝－43例9.已知:a＝321,求01222)1()211(12aaaaaaaa值解：∵a＝321∴a＝2－3＜1原式＝1)1()1(|1|2aaaaa＋1＝)1(1aaa－（a－1）＋1＝a1－a＋1＋1＝a1－a＋2当a＝321时，a＝2－3,321a∴原式＝－2－3－2＋3＋2＝－2例10.把根号外的因式移到根号内：（1）aa1；（2）1x1)1x(；（3）x1x；（4）2x1)x2(解：（1）原式＝a（2）原式＝x1（3）原式＝x（4）原式＝2x例11.观察下列各式及其验证过程232232。验证：322122)12(2122)22(3222233383383。验证：833133)13(3133)33(8383322233根据上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4154的变形结果并进行验证。针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式,并给出证明。解：（1）1544144)14(41544415415442233（2）1nnn1nn)1n(n1nnnn1nn1nnn22223232一.选择题1.下列运算正确的是（）A.623632xxxB.mmaaa1243C.436)3(2aaaD.5322)2()(bbb2.把a2－a－6分解因式，正确的是（）A.a（a－1）－6B.（a－2）（a＋3）C.（a＋2）（a－3）D.（a－1）（a＋6）3.设（x＋y）（x＋2＋y）－15＝0,则x＋y的值是（）A.－5或3B.－3或5C.3D.54.不论ａ为何值，代数式－ａ2＋4ａ－5的值（）A.大于或等于0B.0C.大于0D.小于05.化简二次根式22aaa的结果是（）A.2aB.2aC.2aD.2a6.下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）如果一个数有立方根，那么它一定有平方根（3）算术平方课后练习page6of7根一定是正数（4）非负数的立方根不一定是非负数，错误的个数为（）A.1B.2C.3D.47.当1x2时，化简∣1－x∣＋4－4x＋x2的结果是（）A.－1B.2x－1C.1D.3－2x二.填空题8.矩形的面积为6x2＋13x＋5（x＞0），其中一边长为2x＋1，则另一边为。9.对于分式2xyx，如果x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值10.若x2＋kx－6有一个因式是（x－2），则k的值是;11.2)2(的平方根是，9的算术平方根是，是－64的立方根。12.32的倒数是；32的绝对值是。8的有理化因式是，yx的有理化因式是。三.计算与解答题13.三角形某一边等于ba2，第二边比第一边小（221b），而第三边比第一边大（221b），这个三角形周长为多少？14.ａ、ｂ、ｃ为⊿ABC三边，利用因式分解说明ｂ2－ａ2＋2ａｃ－ｃ2的符号15.实数范围内因式分解（1）ｘ2－2ｘ－4（2）4ｘ2＋8ｘ－1（3）2ｘ2＋4ｘｙ＋ｙ216.已知x2－5xy＋6y2＝0求x2+3xy2y2的值17.试求函数ｔ＝2－－3ｘ2＋12ｘ－9的最大值和最小值。试题答案一.选择题。1~5CCADB6~7DC二.填空题。8.3x＋59.是原来的3110.111.2,3,－412.32232yx三.解答题13.2a＋b－（221b）＝2a＋221b2a＋b＋（2b21）＝2a＋2b23（2a＋b）＋（2a＋21b－2）＋（2a＋2b23）＝6a＋3b－414.原式＝b2－（a－c）2＝（b＋a－c）（b－a＋c）＞0练习答案page7of715.（1）原式＝（x－1－5）（x－1＋5）（3）原式＝2（x－y222）（x－y222）（2）原式＝4（x－252）（x－252）16.解：（x－2y）（x－3y）＝0∴x＝2y或x＝3y当x＝2y时，52642322222yyyyxyx当x＝3y时，92992322222yyyyxyx17.解：t＝23)2(32x∵0≤－3（x－2）2＋3≤3∴t最大值＝2，t最小值＝32