搜索
第十一章三角形全等全等图形的有关概念（1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。（2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。（4）全等多边形的表示例如：△ABC全等于△A’B’C’，记作△ABC≌△A’B’C’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。（6）全等多边形的识别对应边相等、对应角相等的两个多边形全等。2.全等三角形的判定（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。（3）根据SAS如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。（1）“角边角”定理如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。记作“角边角”，简称“ASA”（2）“角角边”定理如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。记作“角角边”，简称“AAS”（3）“斜边、直角边”定理如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。记作“斜边、直角边”，简称“HL”（4）证明三角形全等的方法证明三角形全等的一般方法有四种：“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”。每一种都有给出三个独立的条件，在具体问题中，题设往往只给出一个或两个条件，其余的需要我们自己去发掘和证明。判定方法的选择：已知条件可选择的判定方法一边对应一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS证明角相等的常用方法有：对顶角相等；两直线平行，同位角、内错角相等；同角（或对角）的余角（补角）相等；角平分线平分的两角相等；角的等量代换等。证明线段相等的方法有：同一线段；中点的定义；等腰三角形的两腰；边的等量代换等。为什么“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等？这是因为有三个角相等，但边不一定相等，则三角形不一定全等，如图13-6，可以看出△ABC不全等于△ADE；同样，如果两边及其中一边的对角相等，也不能确定三角形全等，如图13-7，AB=AB,AC=AD,∠B=∠B，但△ABC与△ABD不全等。图13-6图13-7（5）.证明两个三角形全等如何入手证明两个三角形全等一般采用“综合法”与“分析法”两种。（1）综合法，就是从已知条件入手，进行推理，逐步向要证的结论推进，如从已知条件中推导出对应边或对应角相等，从而推导出三角形全等。同时，也可以从三角形全等推导出对应边、对应角的相等，达到正题的目的。（2）分析法，即从欲证的结论出发，分析结论成立的必需条件，各种条件联系已知，寻找它们之间的关系，逐步靠拢已知条件，从而分析出已知与结论的因果关系。证题时，分析法与综合法结合起来使用更加有效，证三角形全等时，既要有明显的已知条件，又要有隐藏的条件，通过综合法罗列已知条件，再通过分析法找出隐藏条件，从而得证。（6）、角平分线1、角平分线的作法ABDECADCB角平分线定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。第十二章轴对称基础知识回顾1、轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2、两个图形关于直线对称（成轴对称）：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点。3、轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。4、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，5、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。6、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上7、作对称轴的方法：对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。等腰三角形的定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形的性质：1、等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角”2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。3、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。注意：等腰三角形中的分类讨论.(1)“边”上的分类：等腰三角形的“边”有两个特殊的名称：“腰”和“底边”，所以当只出现等腰三角形的“边”的概念时，首先要把该“边”分为“腰”和“底边”两种情况分别计算，然后利用三角形的三边关系进行确定.(2)“角”上的分类：等腰三角形的“角”也有两个特殊的名称：“顶角”和“底角”，所以当只出现“角”这一概念时，也要把该“角”分为“顶角”和“底角”两种情况来计算。（这里应注意的是：等腰三角形的“底角”取值必须为（0＜底角＜90°）(3)“腰上的高”的分类讨论：因为等腰三角形的顶角可能是锐角，也可能是钝角，所以在等腰三角形中的角没有确定时，出现“腰上的高”这一概念时，一般要把“高线”分为在形内、形外来讨论.第十三章实数算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记作a,读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。平方根：一般地如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。这就是说x2=a，那么x叫做a的平方根。开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。记作“a”，读作“正、负根号a”。0的平方根是0；负数没有平方根。立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根。开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。立方根的性质：1、正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.2、一个数a的立方根，用符号“3a”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。3、一般地，33aa；33()aa；33-aa。第十四章一次函数变量与函数：在一个变化过程中，有两个变量（如x、y），对于自变量（x）的每一个确定值，函数（y）都有唯一确定的值与它对应，这时，y就是x的函数，常量：在变化过程中，始终保持不变的量；变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。一次函数:若两个变量x、y之间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y是函数）．正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数y=kx+b（k≠0）特例．一次函数的图像：1、一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，我们只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线y=kx+b．直线y=kx+b（k≠0）可以看着由直线y=kx（k≠0）上下平移│b│个单位长度而得到．当b0时，向上平移；当b0时，向下平移．画函数图象的一般步骤：一、列表（一次函数只用列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值），二、描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点），三、连线（依次用平滑曲线连接各点）。一次函数的图象及其性质：（1）、图象：一次函数的图象是一条直线，所以画图象时只要先确定两点，再过这两点画一条直线就可以画出一次函数的图象。（2）、性质：正比例函数一次函数表达式y=kx(k≠0)y=kx+b(k≠0)k0k0k0k0图象性质1．图象是经过原点与第一、三象限的直线；2．函数y的值随x的增大而增大.1．图象是经过原点与第二、四象限的直线；2．函数y的值随x的增大而减小.函数y的值随x的增大而增大.函数y的值随x的增大而减小.一次函数的图象与k,b的关系如下图所示：y=kx+bk0K0b0b02、函数表达式的确定：常用方法是待定系数法，一次函数y=kx+b中含有两个待定系数k、b，根据待定系数法，只要列出方程组即可.3、一次函数的应用：（1）、一次函数与一元一次方程、二元一次方程组的关系。一元一次方程的解就是一次函数与x轴的交点坐标的横坐标的值。二元一次方程组的解可以把方程组中的两个方程看作是两个一次函数，画出这两个函数的图象，那么它们的交点坐标就是方程组的解。（2）、一次函数与不等式的关系：可以借助函数图象解决一元一次不等式的有关问题。第十五章整式的乘除及因式分解1.同底数幂的乘法：mnmnaaa，（m,n都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2.幂的乘方：()mnmnaa，（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。3.积的乘方：()nnnabab，（n为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。4.整式的乘法：（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．可用下式表示：m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c都表示单项式)（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5.乘法公式：（1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个数的平方差”，即用字母表示为：(a+b)(a－b)=a2－b2；（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a－b)2=a2－2ab+b2；在乘法公式中，字母a、b都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y－2)2＝(3x+y)2－2×(3x+y)×2+22＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4，或者(3x+y－2)2＝(3x)2+2×3x(y－2)+(y－2)2＝9x2+6xy－12x+y2－4y+4.前者是把3x+y看成是完全平方公式中的a，2看成是b；后者是把3x看成是完全平方公式中的a，y－2看成是b.（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。乘法公式的常见的恒等变形有：a2+b2＝(a+b)2－2ab＝(a－b)2+2ab.利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.6.整式的除法：mnmnaaa，（0a，m，n都是正整数，并