高等电磁理论汇总

高等电磁理论作业一．举例说明为什么引入位函数，怎样引入。问题：有源区非其次矢量波动方程或非其次矢量赫姆赫兹方程中的场源分布形式十分复杂，直接求比较困难。为了求解有源区场，可仿照经太长引入矢量和标量位函数求解，一下将介绍利用各种位函数求解电磁场的方法，从而得出各种位函数的优缺点及应用条件。分析：1.矢量磁位A和标量电位Φ在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有电型源，由于0B①引入矢量磁位A满足AB②将上式带入法拉第电磁感应定律，得：0)(tAE③由于标量函数的旋度为零，引入标量位Φ，满足tAE④由上式得tAE⑤由此可见，只要求出辅助位A和Φ，则可根据以上分析求解出电磁场。（1）特点：①A和Φ是不唯一的，均具有任意性，现取另一标量函数U,定义转换关系:UAA⑥U⑦将上式代入①，④得到：AUAAB)(⑧tAUAttUtAE)()(⑨可见，经过变换，场量仍不变，利用规范函数U的任意性，可以构成无限多个辅助位A和Φ，但却仍得到同样的电磁场，也就是说，虽然A和Φ是不唯一的，均具有任意性，大门由于存在规范不变性，并不影响电磁场的唯一性。同时利用此规范，可灵活的规定A和Φ之间的关系，以简化辅助位A和Φ的方程。矢量磁位A和标量电位Φ在库仑规范下满足一下关系：)(222tJtAA⑩②在库仑规范下矢量磁位A的源始电流密度的无散部分或横向电流：tJtAA222（Jt电流密度矢量的无散部分）（2）优越性：通过在规范条件下，A和Φ之间的关系：tA；JtAA222；tAE（3）矢量位分量表示的电磁场a.条件：对于时谐场；当同时存在电型源和磁型源时，求出矢量电位m忽然矢量磁位A后。总电磁场为电型源和磁型源产生的场之和，即：21()mjEAJAk21()mmjHAAJk对于无源区可得21mjEAAk①21mjHAAk②在球圆坐标系中，如果取.rrAArerue。0mAmA，A带入1，2式中得Hr=0,11sinHu，uH，2222()()rruEkrujkr，221()ruEjkrr，221()sinruEjkrr如果取,0mmrrrAAeervA代入①，②式。Er=0,111,sinvvEE，2222()()rruHjkrukr，221()ruHjkrr，221()sinruHjkrr这是关于人的TE波，v满足齐次标量亥姆霍次方程在直角坐标系取.0.mzzzAeAAA满足：22ZA+k0zA如果取.0.mmmzzzAeAAA满足：22ZA+k0mmzA同理可得在圆柱坐标系下，mzzAeA表示波是关于z的TM波，mzzAeA表示的波也是关于z的TE波。b.特点和优越性在无源区，对关于z的TE波，在直角坐标系，圆柱坐标系下就可以用一个变量mA，Az来表示，同理可知关于x的TE，TM在两坐标系的情况，y的TE,TM在两坐标系的情况。对于德拜位函数的引用是球坐标系中，也只需要引用一个标量的TE波引用rv，r的TM波引用ru通过引用这些标量，就能够简化E和H的计算复杂度。在电磁场问题中，有时采用矢量磁位和矢量电位的各一对应分量作为独立标量是十分有利的。举例：对直角坐标系下取zzAeA，0mA。我们可以得1zAHxy，1zAHyx，0Hz，22zxAEjkxz，22zyAEjkyz，2222()zzEkAjkz。求复杂的电场问题就可以简化。对电场和磁场问题直接就与一个zA有关，zA通过齐次标量亥姆霍次方程求得。2.矢量电位mA及标量磁位mv（1）条件：在均匀线性各向同性媒质中，如果仅有磁型源，由0D引入矢量电位mA及标量磁位mvmDA()0mAHt由标量函数的梯度的旋度为零，引入标量磁位m。使得其满足mAmHt（2）特点：矢量电位mA及标量磁位m和矢量电位A及标量磁位具有对偶性，可是mA和m也具有唯一性。引入标量函数mU,定义变量函数U'mmAAU'mUmt''()mmAUA''''()()mmmmUAUAHttt故：mA和m不具有唯一性。是任意的。但是场量任然是不变的，利用对偶原理：mmAt在0mA的条件下，矢量电位mA的源是磁流密度mJ的无散射部分222mmmmAAJtt（3）优越性：在洛伦磁规范条件下：mmAt222mmmAAJt222mmmtUmAmHt通过以上4式可以计算H的解。3赫兹矢量赫兹矢量特别适合于计算发生极化和磁化时产生的二次场,令,,,mememmAAtte为电赫兹矢量，m为磁赫兹矢量22221eePJdtt22221mmmMJdtt在无源区理想介质中，方程中P及时极化强度，M就是磁化强度，说明电赫兹矢量e和磁赫兹矢量m分别是由极化强度和磁化强度产生的场二.推导等效原理和感应定理公式及应用等效原理：（一）．公式推导等效原理是基于唯一性定理建立的电磁场理论的另一个重要原理，可用下图进行介绍：(1)是原课题，界面S内有电流，磁流源，这些源在S面内部和外部产生11,EH和22,EH，设一个等效课题，在S面上设有等效电磁流源，满足在S面外产生与原课题相同的场分布，而在面内场为0；(1)(2)下面介绍常用的三种等效形式，具体如下图所示（a）(b)图（a）为原问题第一种等效：如图（b）所示，假设S内的场为0；S上有等效电磁源SJ，SM，满足SJnH；SMEn；由边界连续性条件可知，此等效问题S外的场切向分量与原问题相同，根据唯一性定理可知此问题与原问题在S外的场分布式相同的，因为S内的场为0，因而我们可进一步设S内填充与S外相同的均匀介质，这样原问题便等效成S面上等效电磁源SJ，SM在均匀介质中产生场地问题。第二种等效：如图（c）所示，假设S内填充理想导电体，这样S内场为0;由互易定理可知理想导体面上的电流源不会产生辐射，故我们只需考虑SM的作用，使其在S外产生的场与原问题相同，需满足SMEn，由边界连续性条件可知，此等效问题S外的场切向分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导电体上等效磁流SM产生场地问题。SSEH,EH1V2V,EHnSJnH,JMSMEn0EH1V2VSS1E22,EH0EH1V2V22,EHnSMSJ,JM1Hn1V2Vn(c)(d)第三种等效：如图（d）所示，假设S内填充理想导磁体，这样S内场为0;由互易定理可知理想磁体面上的磁流源不会产生辐射，故我们只需考虑SJ的作用，使其在S外产生的场与原问题相同，需满足SJnH，由边界连续性条件可知，此等效问题S外的场切向分量与原问题相同，这样原问题便等效成一理想导磁体上等效磁流SJ产生场地问题。第一种的解析解：在自由空间中0H根据0AHA()0EjAEjA……（1）选择Aj22AkAJ，221kJj因为标量亥姆霍兹的标量格林函数为：()4jkrrGrrerr其中r为源点位置，r代表场点位置，于是()()()ArJrGrrdr……（2）()Arj……（3）也可以通过求解221kJj得到，即SS,EH2V,EHnSJnHSMEn0EH1V2V0EH1V电导体磁导体1()()()rJrGrrdrj……（4）E有两种形式，一种是将（2），（3）代入（1）中得22()()1()[1]EjAjAjAjjAjAjJGdrk……（5）另一种是将（2），（4）代入（1）中得2()1[()]EjAjAjjJJGdrk……（6）从而得到HJGdr为了书写简洁，引入记号,LK21()[()]LxjkxxGdrk()KxxGdr则电磁场便可写作()EzLxz()HKJ对于（5），在等效源无需作用的情况下，在某些情况下能化简场得到简洁的表达式，此表达形式一般用于计算远场：对于（6），对场点作用在格林函数G中，对源点作用在等效源点，一般用于计算近场。用相同的方法可以求出等效磁流产生的场：()EKM1()HLMz根据线性叠加原理，电磁流共同产生的场便为()()1()()EZLJKMHLMKJZ（二）应用举例介质体的积分方程如图：S面为介质体的表面。入射波Ei，Hi，可以透过S面刀达介质体内部。在求介质体外V1去空间一点的电磁场仍可用11ˆˆˆ{}[()]()()]}4isssEEEjgnHnEgnEgds1ˆˆˆ[()()()]4isjgnEnEgnEgdsE来求。即有：V1区：dsgEngEnHnHngjnrEnrEnsi])ˆ()ˆ()ˆ()ˆ([ˆ41)(ˆ)(ˆ111111111111111①在V2区：入射场就是S面上源分布的贡献，则V2区空间一点的电磁场为：V2区：dsgEngEnHnHngjnrEns])ˆ()ˆ()ˆ()ˆ([ˆ41)(ˆ22222222222222②上式中：gi=)2,1(irrrregjkiiiik（i=1，2）在S面上场切向分量连续，有：0)(ˆ;0)(ˆ111211HHnEEn③又D得法向分量连续，即：0)(ˆ22111EEn④以下是用面积分方程求解S面上的电磁流密度Js和Ms。由图可知，21ˆnn；由①②③④式得：dsggEnggEnggHngjnrEnsi)]()ˆ()()ˆ())(ˆ([ˆ41)(ˆ22112121S)2,1(1V2ˆn1ˆn)2,2(2ViiEH,⑤（①②式相加）同理，对磁场有：dsggHnggHnggEnjnrHnsi)]()ˆ()()ˆ())(ˆ([ˆ41)(ˆ212122111⑥⑤⑥式左边是V1空间一点（r）的入射场与n的叉乘，右边面积分的E,H是S面上总电磁场的切向分量，n是S面得外法向单位矢量。当场点落在S面上时，⑤⑥中的面积分φs改用为主值积分，即：dsggEnggEnggHngjnrEnsi)]()ˆ()()ˆ())(ˆ([ˆ41)(ˆ22112121)(sr⑦dsggHnggHnggEnjnrHnsi