搜索
幻方问题【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和＝45÷3＝15五级幻方的幻和＝325÷5＝65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和），其次是确定正中间方格的数，然后再确定其它方格中的数。【例题精讲】例1把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。解幻和的3倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。看来，用到四次的“中心数”地位重要，宜优先考虑。设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4即45＋3Χ＝60所以Χ＝5接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们分别在四个角，再确定其余四个奇数的位置，它们分别在中行、中列，进一步尝试，容易得到正确的结果。例2把2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数填到九个方格中，使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等。解只有三行，三行用完了所给的9个数，所以每行三数之和为（2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）÷3＝18假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18，我们看18能写成哪三个数之和：最大数是10：18＝10＋6＋2＝10＋5＋3最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。首先确定正中间方格的数。第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次。观察上述8个算式，只有6被用了4次，所以正中间方格中应填6。然后确定四个角的数。四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次，所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾两条对角线上三个数的和都为18。最后确定其它方格中的数。如图。【知识运用】2769514389274685103解答这类问题，常要用到一下知识：1、等差数列的求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷22、计算中的奇偶问题：奇数（＋或－）奇数=偶数；偶数（＋或－）偶数=偶数；奇数（＋或－）偶数=奇数3、10以内数字有如下关系：（1）1+9=2+8=3+7=4+6；（2）1+8=2+7=3+6=4+5；（3）2+9=3+8=4+7=5+61.右图的九个方格内已经填入一个数字，请在其余的八个空格内填上其他的数，使得九个方格内是九个连续的自然数，并且横行、竖行及对角线上的三个数的和都相等。那么所填入八个数的和是（）2.用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制成一个三阶幻方。103.把1～7这7个数分别填入右图各圆圈内，使在一条直线上的三个数的和相等。4.将1～10这十个自然数分别填入右图中的十个○内，使五边形每条边上的三个数之和都相等，并使和最小与和最大，写出这两种填法。5.把1～9填入右图中的圆圈里，使他每条边上的四个数的和都等于20（又知某一角上已经填了8）。6.把1～9这九个数填入又图的各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使每个正方形四个顶点上的数的和也都相等。7.把1～9这九个数填入右图中的九个小三角形中，使得每条边上的五个小三角形内的数字之和都相等。问：这个和的最小值是多少？8.根据下表的8×8方格盘中已经填好的左下角4×4个方格中数字显示的规律，找出方格盘中a与b的数值，并计算其和，得a+b=（）。b1014192569131835812a12479.自然数按规律排成了下图中的三角数阵。2001是第（）行坐起第（）个数。10.如下左图是一张把自然数按一定顺序排列的数表。用一个五个空格的十字框可以框出五个不同的数字，先框出的五个数字中的四角上的数字和为48，如果框出的五个数字中的四角上的数字和为624时，四个角上的数字分别是（）、（）、（）、（）.4、将1～9这九个数分别填入下图中的○内，使外三角形边上○内数字之和等于里面三角形边上○内数字之和。5、在下面由图中的小圆圈内分别填入1～8这八个数，使得图中用线段连起来的两个圆圈内所填的数字之差（大数减小数）恰好是1、2、3、4、5、6、7这七个数。11.如图一个边长为3的正三角形，分成边长为1的九个小三角形，把数字1～9分别填入这九个小三角形中，使得图中：（1）边长为2的正三角形内的四个数字之和相等，并求出这个和的最大值和最小值。（2）大三角形每条边上的五个数字的和相等，且这个和最大。12.将1～10这十个数填入下图中各○内，使得三个正方形的四个顶点上的数之和都等于21。13.把5～20这十六个自然数填入图中，使他们的横行、数列及对角线上的四个数的和都相等（提示：先求出横行上四个数的和）。14.将1～8这八个数字填入图中的空格内，使每一横行、每一竖行所构成的算式都成立。15.在上面右图中每个“□”内分别填入“＋、－、×、÷”符号，在“○”内填入1、2、3、4、5、7、8和15，使图形四周的算式都正确。11、将1～8这八个数字填入下左图正方体的八个顶点处的圆圈内，使每个面的四个数字的和都是18.16.将1～7这七个数填入右上图A、B、C、D、E、F、G这七个部分，使每个圆内的四个数字之和都等于18，并要求G的部分填入奇数。17.把1～11这十一个数分别填入下左图中○内，使每条虚线上三个○内数的和相等。18.把1～8分别填入下右图中各○内，使图中箭头连接起来的四个数之和都等于18.19.已知六个质数的和为20，填入下左图的六个圆圈中，使得图中每个三角形顶点数字之和都相等。求这六个质数的积。20.请将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入上右图中的圆圈内，使图中位于每条直线上的各数字之和均等于11.21.把1～8这八个数字填入下图中的○内，使每个正方形四个角及每条直线上四个数之和是18.