还原问题还原含义对于有些问题,当顺着题目条件的叙述去寻找解法时,往往有一定的困难,但是,如果改变思考顺序,从问题叙述的最后结果出发,一步一步倒着思考,一步一步往回算,原来加的用减,减的用加,原来乘的用除,除的用乘,那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法,用还原法解题的问题叫做还原问题。初级还原问题例题精讲1.某数加7,乘以5,再减去9,得51,求这个数.解:我们反过来算:(51+9)÷5-7=60÷5-7=12-7=5.答:这个数是5.请同学们验证一下,按题目的运算顺序,看能否得到51.2.在做一道加法题时,小胖把个位上的5看成9,把十位上的8看成了3,结果得到123,问正确答案应该是多少?分析由于小胖粗心看错了题,得到错误的结果,可以利用还原的方法去求出正确的答案.解:小胖把个位上的5看成9,多加了4,因此要减去4;他把十位上的8看成了3,少加了50,所以应当再加上50.这样正确的答案应该是:123-4+50=169.答:正确答案应为169.3.某人去银行取款,第一次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元.他原有存款多少元?分析看起来这个问题很复杂,实际上这还是一个还原应用题,我们照样可以反过来求出原先的存款数.解:这个人第二次取了余下的一半还多10元,这时还剩125元,说明余下的一半是125+10=135(元).因此余下钱数应为135×2=270(元).而这270元是这个人第一次取了存款的一半还多5元而剩下的,因此存款的一半应为:270+5=275(元).所以这个人实际存款为:275×2=550(元).列综合算式为:[(125+10)×2+5]×2=(270+5)×2=550(元).答:这个人原有存款550元.我们来验证一下所得的结果是否正确.第一次这个人取了存款的一半还多5元,就是550÷2+5=280(元),还剩下550-280=270(元).第二次又取了余下的一半还多10元,就是270÷2+10=145(元),还剩下270-145=125(元).说明求的结果是正确的.甲,这时他们各有240元.两人原来各有多少元钱?此时甲有240×2-300=180(元).此时乙有240×2-216=264(元).答:甲原有216元,乙原有264元.4.兄弟三人分24个苹果,每人所得个数分别等于其三年前各自的岁数.如果老三把所得的苹果的一半平分给老大和老二,然后老二再把现有的苹果的一半平分给老大和老三,最后老大再把现有的苹果的一半平分给老二和老三,这时每人所得的苹果数恰好相同.求兄弟三人年龄各有多少岁.分析要求三人的年龄,必须先求各人所得的苹果数.为此我们反过来推导.为了便于理解和说明,可以列出一个表,从最后每人所得苹果数相等,倒推出开始每人所得的苹果数.解:由于总共24个苹果,最后三人所得苹果数相等,因此每人都分得8个苹果.为了便于说明,请看表23-1.由题中可以看出老大、老二、老三原有苹果分别为13、7、4个,因此他们的年龄分别为16岁、10岁、7岁.答:老大、老二、老三的年龄分别是16岁、10岁和7岁.同学们可以验证一下,由表中的最下面一行推上去,看是否能推出三人的苹果都是8个.列表的方法也是我们解应用题常用的方法.特别是当对象和程序较多的情况下,利用表格可以把中间过程清楚地表示出来,从而容易得到正确的结果.5.甲、乙、丙、丁四人各有故事书若干本,甲将自己的故事书拿一部分给乙、丙、丁,使他们的书增加1倍,然后乙又拿出一部分故事书使得甲、丙、丁的书增加1倍,然后丙又拿出部分故事书使得甲、乙、丁的书增加1倍,最后丁也拿出部分故事书使得甲、乙、丙的书增加1倍.此时甲、乙、丙、丁手中都是32本书.问甲、乙、丙、丁四人原来各有多少本书?解:我们还是采取倒推的办法.从最后一次丁分书出来考虑起.由于丁拿出部分书分给甲、乙、丙后,甲、乙、丙的书各自增加了1倍,都为32本,说明在此之前,甲、乙、丙手中的书都为:32÷2=16(本).丁手中的书应为:32+16×3=80(本).同样可推出在丙拿出书之前,甲、乙、丁手中的书分别为:8本、8本、40本,此时丙手中的书应为:16+8+8+40=72(本).继续下去,…,就可推出原来四人手中各有的书.甲、乙、丙、丁最初各有书66本、34本、18本和10本.答:甲、乙、丙、丁原来各有66本、34本、18本、10本书.知识运用1.一个数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6.求这个数.2.一个数除以5,乘以7,减去20再加上15等于100.求此数.3.一个数加上7,乘以3,减去15,得到最大的3位数.求这个数.4.有一个两位数,十位上的数字是个位上的数字的2倍,如果把十位上的数减3,个位上的数加3,就得到另外一个两位数,把这个两位数与原来的两位数相加,和是141.求这个两位数.4.小红买书用去所带钱的一半,买练习本又用了2角5分,买铅笔用了剩余钱的一半,这时小红还有2角7分钱.问小红带了多少钱?5.书架上有上、中、下三层,一共分放了192本书.现在先从上层取出与中层同样多的书放到中层,再从中层取出与下层同样多的书放到下层,最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层,这时三层的书刚好相等.问这个书架上、中、下层原来各有多少本书?6.甲、乙、丙三只猴子各有桃子若干个.甲猴从乙猴手中抢来一半,吃掉一个;乙猴又从丙猴手中抢来一半,吃掉一个;丙猴又从甲猴手中抢来一半,也吃掉一个,最后三只猴子都有9个桃子.问原来它们各有桃子多少个?中级还原问题例题精讲1.有一个数,把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4。问:这个数是几?分析:这个问题是由(□×4—46)÷3—10=4,求出□。我们倒着看,如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+10=14;如果在减去46以后不除以3,那么差该是14×3=42;可知这个数乘以4后的积为42+46=88,因此这个数是88÷4=22。解:[(4+10)×3+46]÷4=22。答:这个数是22。2.小马虎在做一道加法题目时,把个位上的5看成了9,把十位上的8看成了3,结果得到的“和”是123。问:正确的结果应是多少?分析:利用还原法。因为把个位上的5看成9,所以多加了4;又因为把十位上的8看成3,所以少加了50。在用还原法做题时,多加了的4应减去,多减了的50应加上。解:123-4+50=169。答:正确的结果应是169。3.学校运来36棵树苗,乐乐与欢欢两人争着去栽,乐乐先拿了若干树苗,欢欢看到乐乐拿得太多,就抢了10棵,乐乐不肯,又从欢欢那里抢回来6棵,这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍。问:最初乐乐拿了多少棵树苗?分析:先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗。学校共有树苗36棵,乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍,所以欢欢现在拿了36÷(2+1)=12(棵)树苗,而乐乐现在拿了12×2=24(棵)树苗,乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵,如果不抢,那么乐乐有树苗24-6=18(棵),欢欢看乐乐拿得太多,去抢了10棵,如果欢欢不抢,那么乐乐就有18+10=28(棵)。解:36÷5(1+2)×2-6+10=28(棵)。答:乐乐最初拿了28棵树苗。4.甲、乙、丙三组共有图书90本,乙组向甲组借3本后,又送给丙组5本,结果三个组拥有相等数目的图书。问:甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?分析与解:尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去,但图书的总数90本没有变,由最后三个组拥有相同数目的图书知道,每个组都有图书90÷3=30(本)。根据题目条件,原来各组的图书为甲组有30+3=33(本),乙组有30—3+5=32(本),丙组有30—5=25(本)。5.一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米,这捆电线原有多少米?分析:由逆推法知,第二次用完还剩下15+7=22(米),第一次用完还剩下(22—10)×2=24(米),原来电线长(24+3)×2=54(米)。解:[(15+7—10)×2+3]×2=54(米)。答:这捆电线原有54米。知识运用1.某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少?2.某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数。3.在125×□÷3×8—1=1999中,□内应填入什么数?4.小乐爷爷今年的年龄数减去15后,除以4,再减去6之后,乘以10,恰好是100。问:小乐爷爷今年多少岁?5.粮库内有一批面粉,第一次运出总数的一半多3吨,第二次运出剩下的一半少7吨,还剩4吨。问:粮库里原有面粉多少吨?6.有一筐梨,甲取一半又一个,乙取余下的一半又一个,丙再取余下的一半又一个,这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元,那么每个梨值多少钱?7.山顶有一株梨树,一只猴子去偷吃梨子,第1天偷了1/8,以后6天分别偷了1/7,1/6,1/5,1/4,1/3,1/2;最后一天,树上仅剩下100个梨。试求原来树上有多少个梨子?8.某人去银行取款,第1次取了存款的一半还多5元,第二次取了余下的一半还多10元,这时存折上还剩125元。问:此人原有存款多少元?高级还原问题例题精讲1.有一堆棋子,把它四等分后剩下一枚,取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚,再取走三份又一枚;剩下的再四等分又剩一枚。问:原来至少有多少枚棋子?分析与解:棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推,得到第三次分之前有1×4+1=5(枚),第二次分之前有5×1+1=21(枚),第一次分之前有21×4+1=85(枚)。所以原来至少有85枚棋子。2.袋里有若干个球,小明每次拿出其中的一半再放回一个球,这样共操作了5次,袋中还有3个球。问:袋中原有多少个球?分析与解:利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个,第4次操作后有(3—1)×2=4(个),第3次……为了简洁清楚,可以列表逆推如下:所以原来袋中有34个球。3.三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆;再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆;最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时,三堆苹果数恰好相等。问:三堆苹果原来各有多少个?分析与解:由题意知,最后每堆苹果都是48÷3=16(个),由此向前逆推如下表:原来第一、二、三堆依次有22,14,12个苹果。逆推时注意,每次变化中,有一堆未动;有一堆增加了一倍,逆推时应除以2;另一堆减少了增加一倍那堆增加的数,逆推时应使用加法。4.有甲、乙、丙三个油桶,各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶,使它们各增加原有油的一倍;再将乙桶油倒入丙、甲两桶,使它们的油各增加一倍;最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时,各桶油都是16千克。问:各桶原有油多少千克?分析与解:与例3类似,列表逆推如下:原来甲、乙、丙桶分别有油26,14,8千克。逆推时注意,每次变化时,有两桶各增加了一倍,逆推时应分别除以2;另一桶减少了上述两桶增加的数,逆推时应使用加法。专题分析:一个数量经过若干次变化成了另一个结果,我们从结果出发,根据每一次变化情况,一步一步地倒着想,把结果还原成开始状态,这类问题叫做还原问题,又叫逆运算问题。对于简单的每一次变化不太复杂的还原问题,可以直接列式一步步倒着推算,对于变化复杂的,可借助列表和画图来帮助解决问题。知识运用1、小刚的奶奶今年年龄减去7后,缩小9倍,再加上2后,扩大10倍,恰好是100岁,小刚的奶奶今年多少岁?2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘以2,结果得60。求这个数。3、某商场出售洗衣机,上午售出总数的一半多10台,下午售出剩下的一半多20台,还剩95台,这个商场原来有洗衣机多少台?4、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后,又借给小勇5本,结果三个人的故事书的本数相等。这三个人原来各有故事书多少本?5、王亮和李强各有画片若干张。如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强,李强再拿出和王亮同样多的画片给王亮,这时两个人都有24张。问王亮和