数学之美——赌博与概率

赌博与概率摘要：数学无处不在，就连赌博中也是充满了数学的智慧。但是我们也听说过十赌九输、十赌九骗这样的说法，是否赌博真的那么可怕？究竟赌博中有什么规律和奥秘可言呢?本文通过研究概率的一些基本原理来解开赌博中的数学原理，让我们一同感受数学的美好。关键字：田忌赛马；赌博；概率1.引言有一回，齐威王和田忌赛马。他们把马分成上、中、下三等，上等马对上等马，以此类推。田忌每个等次的马都比齐威王的慢，因此，三个回合下来，田忌都败了。一旁观战的朋友孙膑给他支招，于是田忌又向齐威王发出挑战，齐威王答应了。赛马又开始了。田忌先用下等马对齐威王的上等马，再用上等马对齐威王的中等马，又用自己的中等马对齐威王的下等马。田忌以两胜一负的成绩胜了齐威王。这是一个大家耳熟能详的小故事，其中齐王与田忌赛马的故事就蕴含着概率的原理。2.概率的起源与历史概率史是一门研究随机现象规律的数学分支。它起源于十七世纪中叶，当时在误差分析、人口统计等范筹中，有大量的随机数据资料需要整理和研究，从而孕育出一种专门研究随机现象的规律性的数学。另一方面，由于数学家参与讨论分赌本问题导致惠根斯完成了《论赌博中的计算》一书，由此奠定了古典概率论的基础。使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布伯努利。他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理《伯努利大数定理》。之后，法国数学家棣莫弗在他的著作《分析杂论》中提出了著名的《棣莫弗—拉普拉斯定理》。接着拉普拉斯在1812年出版了《概率的分析理论》，首先明确地对概率作了古典的定义。经过高斯和泊松等数学家的努力，概率论在数学中地位基本确立。到了20世纪的30年代，通过俄国数学家柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上的杰出贡献，完全使概率论成为了一门严谨的数学分支。近代又出现了理论概率及应用概率论的分支，概率论被广泛的应用到了不同范筹和不同的学科。今天，概率论已经成为一个非常庞大的数学分支。从概率论的起源和发展看，概论都与赌博问题息息相关，可以说对于概率论的研究正是起源于赌博问题，同时赌博问题中也有很多概率问题值得我们研究。本文将要利用概率论的知识研究赌博中包含的一些问题，揭示赌博的内在机制。3.赌博与概率的关系3.1骰子问题（以三个骰子为例）规则说明：一般采用三枚骰子和一个骰盅，分为开大开小，规定4点到10点为小，11点到17点为大。若押小开小，则押小者胜，可获一倍彩金，押大者输，赌注归庄家所有；若押大开大，依此类推。若庄家摇出三个骰子点数相同，则不论下注者押大押小都输。I庄家摇出三个骰子点数相同的概率：各点数组合共有6*6*6=216种，点数相同共有6种情况，所以概率为P=028.02166II开小的概率，逐个分析4点的组合有（1,1,2），共有3种情况，所以概率为P=014.02163；5点的组合有（1,1,3），（1,2,2），共有6种情况，其概率为P=028.02166；6点的组合有（1,1,4），（1,2,3），共有9种情况，其概率为P=042.02169；7点的组合有（1,1,5），（1,2,4），（1,3,3），（2,2,3），共有15种情况，其概率为P=069.021615；8点的组合有（1,1,6），（1,2,5），（1,3,4），（2,2,4），（2,3,3），共有21种情况，其概率为P=097.021621；9点的组合有（1,2,6），（1,3,5），（1,4,4），（2,2,5），（2,3,4），共有24种情况，其概率为P=111.021624；10点的组合有（1,3,6），（1,4,5），（2,2,6），（2,3,5），（2,4,4），（3,3,4），共有27种情况，其概率为P=125.021627；所以开小的概率为P=0.486；由此可知开大的概率为P=1-0.486-0.028=0.486。III实例：如果有一玩家，下注100元，规定100元只下一种情况，则其收益期望E=（200*0.486+0*0.514）-100=-2.8，由此可见其期望为负。现在假设玩家可以随意决定下注多少且下注额可无限分割，但是最小下注额为1元，那么根据凯利规则可知，第一局下注2.8元（100*（0.514-0.486）），如果赢了，现在有102.8元，继续下注102.8*0.028=2.8784元；如果输了，现在有97.2元，继续下注2.7216元。采用这一下注规则，第一，我们可以尽量降低全部输光的可能性；第二，这种方法能获得最高的期望收益；第三，利用这种方法能最快达成目标赢钱数。3.2彩票中奖问题（一）首先，特等奖的概率是很容易计算的。7个号码有0000000～9999999共107种情况，而特等奖号码只有一个，故特等奖的中奖概率为10－7。（二）现在讨论一至五等奖的中奖概率。为便于叙述，作如下规定：某一位号码与中奖号该位上的号码相同，用“〇”表示，若不同则用“×”表示，均可的用“¤”表示。1．中一等奖有两种形式：〇〇〇〇〇〇×和×〇〇〇〇〇〇a.对于〇〇〇〇〇〇×中的×只有九种情况，这是因为×≠〇故有9个〇〇〇〇〇〇×形式的一等奖号。b.同理可知有9个×〇〇〇〇〇〇形式的一等奖号。故共有18个一等奖号。故一等奖的中奖概率为18×10－7＝1.8×10－62．中二等奖有三种形式：〇〇〇〇〇פ，×〇〇〇〇〇×和¤×〇〇〇〇〇a.对于〇〇〇〇〇פ，∵×有9种子情况，¤有10种子情况。∴共有9×10＝90种情况即共有90个〇〇〇〇〇פ形式的二等奖号。b.对于×〇〇〇〇〇×，∵每个×都有9种子情况∴共有9×9＝81种情况，即共有81个×〇〇〇〇〇×形式的二等奖号。c.对于¤×〇〇〇〇〇，与a.同理可知共有90个¤×〇〇〇〇〇形式的二等奖号。∴二等奖号共有90＋81＋90＝261个。∴二等奖中奖概率为261×10－7＝2.61×10－5。3．中三等奖有四种形式：〇〇〇〇פ¤，×〇〇〇〇פ，¤×〇〇〇〇×及¤¤×〇〇〇〇与1，2的推理类似，可得出有900个〇〇〇〇פ¤，810个×〇〇〇〇פ，810个¤×〇〇〇〇×和900个¤¤×〇〇〇〇∴三等奖号共有900＋810＋810＋900＝3420个。∴三等奖中奖概率为3420×10－7＝3.42×10－44．中四等奖有五种形式：〇〇〇פ¤¤，×〇〇〇פ¤，¤×〇〇〇פ，¤¤×〇〇〇×，¤¤¤×〇〇〇类似可得共有9000个〇〇〇פ¤¤，8100个×〇〇〇פ¤，8100个¤×〇〇〇פ，8100个¤¤×〇〇〇×和9000个¤¤¤×〇〇〇但∵单注号只能得一注最大奖，而〇〇〇×〇〇〇在上述算法中计算了两次。∴四等奖总注数为9000×2＋8100×3－9＝42291∴四等奖中奖概率为42291×10－7＝4.2291×10－35．中五等奖有六种形式：〇〇פ¤¤¤，×〇〇פ¤¤，¤×〇〇פ¤，¤¤×〇〇פ，¤¤¤×〇〇×以及¤¤¤¤×〇〇同理知〇〇פ¤¤¤，¤¤¤¤×〇〇分别有九万个；×〇〇פ¤¤，¤×〇〇פ¤，¤¤×〇〇פ和¤¤¤×〇〇×分别有81000个。但这些号码中包含了9个〇〇פ〇〇〇，81个×〇〇×〇〇〇，81个〇〇〇×〇〇×，90个〇〇〇¤×〇〇和81个×〇〇〇×〇〇非五等中奖号。并有810个〇〇×〇〇פ，729个×〇〇×〇〇×和810个¤×〇〇×〇〇重复计算了两次。∴五等奖中奖号码共有90000×2＋81000×3－90×2－81×4－810×2－729＝420147∴五等奖中奖概率为420147×10－7＝0.04201474.总结有以上我举出的两个例子不难看出赌博与数学之间千丝万缕的关系。总之几乎所有的赌博都是占赢的很小一部分的概率，庄家还是最大的赢者。高额的奖金和回报往往使人们忘记赌博的本质——十有九输、十有九骗。以这篇文章让大家了解赌博中的数学，使我们明白数学不单单只是书本上的公式，它与我们的生活紧密相连。