九年级相似三角形射影定理与比例中项经典讲义

射影定理与比例中项射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．即CD2=AD·BD；AC2=AD·AB；BC2=BD·AB比例中项：如果a:b=b:c，或b2=ac，那么，b就叫做a、c的比例中项。1、已知直角三角形ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，DEAB交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1，在RtABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、43、在RtABC中，90BAC，ADBC于点D，若34ACAB，则BDCD（）A、34B、43C、169D、9164、如图1-2，在矩形ABCD中，1,3DEACADECDE，则EDB（）A、22.5B、30C、45D、60【填空题】5、ABC中，90A，ADBC于点D，AD=6，BD=12，则CD=____，AC=____，22:ABAC=___________。6、如图2-1，在Rt△ABC中，90ACB，CDAB，AC=6，AD=3.6，则BC=_____．7、如图已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，求证：△CEF∽△CBA8、已知90CAB，ADCB，△ACE，△ABF是正三角形，求证：DEDFOABCDEEFBACD9、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点，DEAM，E是垂足，求证：2224abDEab10、如图（３），已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC，高AD、BE交于点Ｈ，求证：DH•DA=41BC211、已知如图△ABC中，AD平分∠ABC，AD的垂直平分线交AB于点Ｅ，交AD于点Ｈ，交AC于点Ｇ，交BC的延长线于点Ｆ，求证：DF2＝CF•BFHBFACDE参考答案1、C2、B3、C4、C5、3,35,4:16、87、证明：在RtADC中，由射影定律得，2CDCEAC，在RtBCD中，同理得2CDCFBC,CEBCCEACCFBCCFAC又ECFBCA，CEFCBA8、证明：如图所示，在RtBAC中，22,ACCDCBABBDBC222ACCDCDCDCDADABBDCDBDADADBD,,AEADACAEABAFBFBD60,60,FBDABDEADCADABDCAD又FBDEAD，,EADFBDBDFADE90FDEFDAADEFDABDFDEDF9、证明：在RtAMB和RtADE中，AMBDAE，90ABMAED所以RtAMB～RtADE所以ABAMDEAD，因为AB=a，BC=b，所以2222244ABADababDEAMbaba10、证△ABD∽△BDH即可11、证明：连ＡＦ，∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，∴ＦＡ＝ＦＤ，∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴ＢＦＡＦ＝ＡＦCＦ，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。EFBACDHBFACDE