习题一质点运动学(答案)

习题一质点运动学院系：班级:_____________姓名:___________班级个人序号:______一选择题1．某人骑自行车以速率v向西行驶，今有风以相同速率从北偏东30°方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？［C］(A)北偏东30°．(B)南偏东30°．(C)北偏西30°．(D)西偏南30°．2.在相对地面静止的坐标系内，A、B二船都以2m/s速率匀速行驶，A船沿x轴正向，B船沿y轴正向．今在A船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x、y方向单位矢用i、j表示)，那么在A船上的坐标系中，B船的速度（以m/s为单位）为［B］(A)2i＋2j．i＋2j．(C)－2i－2j．(D)2i－2j．3.水平地面上放一物体A，它与地面间的滑动摩擦系数为．现加一恒力F如图所示．欲使物体A有最大加速度，则恒力F与水平方向夹角应满足(A)sinθ＝μ．(B)cosθ＝μ．(C)tgθ＝μ．(D)ctgθ＝μ．［C］4．一质点沿x轴运动的规律是245xtt（SI制）。则前三秒内它的[D]（A）位移和路程都是3m；（B）位移和路程都是-3m；（C）位移是-3m，路程是3m；（D）位移是-3m，路程是5m。解：30253ttxxx24dxtdt，令0dxdt，得2t。即2t时x取极值而返回。所以：022302232032|||||||||15||21|5ttttSSSxxxxxx5．一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度[D]（A）大小为/2v，方向与B端运动方向相同；（B）大小为/2v，方向与A端运动方向相同；（C）大小为/2v,方向沿杆身方向；（D）大小为/(2cos)v，方向与水平方向成角。解：对C点有位置：sin,cosCCxlyl；速度：cos,sinCxCyddvlvldtdt；所以，222cosCCxCydvvvvldt.（B点：2sin,2cos,2cosBBddvxlvlvdtdtl）。FAACBvv0v011v二、填空题1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度aτ=，轨道的曲率半径=。答案：12g；223vg。解：jga1sinsin302aaggcoscos30naag。又因2nva，所以2222cos303nvvvagg2．一质点在xy平面内运动，其运动学方程为jtitr)2(22，其中tr,分别以米和秒为单位，则从t=1秒到t=3秒质点的位移为；t=2秒时质点的加速度为；质点的轨迹方程是。答案：48ij；2j；224xy。解：(3)(1)48rrrij，22222dxdyaijjdtdt22,2xtyt，消去时间t得224xy。3.一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为2021bttvs，其中bv,0都是常数，t时刻，质点的加速度矢量a；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为。答案：20()vbtnbR；024vRb。解：（1）btvdtdsv0，bdtsda2220()nvbtaananbR（2）令2220()vbtabbR，得bvt02200001()(0)()22vvvsstsvbbbb，得0224vsnRRb4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜0角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜1角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜2角，火车加速前后的速度之比为。答案：010101202020costansintantancostansintantanvvPvxnaaa30yv0v022v解：设0v为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为0（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以1v行驶时，雨滴相对火车的速度为v，已知其倾角为1，根据伽利略变换：10vvv同理，火车以2v行驶时，雨滴相对火车的速度为v，已知其倾角为2，所以20vvv011sinsinovvv(1)；001coscosvv(2)220sinsinovvv(3)；002coscosvv(4)联立（1）（2）式得100100sincosvvtgv，10010(cossin)vvtg联立（3）（4）式得000022cossinvvvtg，)sin(cos02002tgvv所以，火车加速前后速度之比为010101202020costansintantancostansintantanvv5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为342t，的单位为rad，t的单位为s。问t=2s时，质点的切向加速度；法向加速度；等于rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。答案：24.8m/sa；2230.4m/s；2.67rad。解：（1）212dtdt，2224dtdt；24144naRRt，24aRRt。t=2s时，2230.4m/sna，24.8m/sa（2）设t时，a和半径夹角为45°，此时naa，即414424RtRt，得31/6t所以38()242.67radrad3tt6.距河岸(看成直线)500m处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为n=1r/min转动．当光束与岸边成60°角时，光束沿岸边移动的速度v=__________．69.8m/s三计算题1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为0a，以后加速度均匀增加，每经过秒增加0a，求经过t秒后质点的速度和位移。答案：2002avatt；2300126axatt。由题意可知，角速度和时间的关系为00aaat根据直线运动加速度定义dvadt20000000()2ttaadvvvdtadtatdtattdt0t时刻，00v所以2002avatt又dxvdt，所以22300000001()226ttaadxxxdtvdtattdtattdt0t时刻，00x所以2300126axatt2．一质点以初速度0v作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为0vn(1)n时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。答案：11n。解：质点作一维运动。初始条件：0t时，0x，0vv。又由题意，质点的加速度可表示为akv式中，k为大于零的常数。解法一：由加速度的定义有dvakvdt分离变量dvkdtv由初始条件0t时0vv，有00vtvdvkdtv积分得0e(1)ktvv所以0ektdxvvdt由初始条件0t时0x，积分得000e(1e)tktktvxvdtk上式可写为m(1e)(2)ktxx其中，0mvxk为质点所能行经的最大距离。联立式（1）和式（2），得m00()xxvvv故m0(1)xvxv将0vvn代入上式，得11mxxn解法二：由加速度的定义，并作变量替换有dvavkvdx即dvkdx由初始条件0x时0vv，有00vxvdvkdx积分得0(3)vvkxoAvBvrAB由上式得0vvxk。故当0vvn时，01(1)(4)vxkn又由dxvdt及式（3），有0dxdtvkx由初始条件0t时0x，积分得00lnvkxktv即0(1e)ktvxk可见，质点所能行经的最大距离为0mvxk故当0vvn时，由式（4）及上式得11mxxn3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率v0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。答案：220xvhsvs；2203xhavs。解：建立如图所示的坐标系。根据题意可得0-dlvdt由上图可得22xlh船的速率22002222()()xdxldllhxvvvdtdtxlhlh船的加速度大小22220033222()()()xxdvhhavvdtxlh当x=s时，2203xhavs，220xvhsvs4．如图，一超音速歼击机在高空A时的水平速率为1940km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192km/h，所经历的时间为3s，设圆弧AB的半径约为3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B的加速度；（2）飞机由点A到点B所经历的路程。答案：（1）2109msa，与法向成12.4角；（2）m1722s。解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以ta和为常量tddvat，tt0ddtBAvatvvatBAvv，已知11940kmhvA，12192kmhvB3st，3.5kmr，所以2t23.3msBAvvatxy0vlhxo在点B的法向加速度22n106msBvar在点B的总加速度大小222tn109msaaaa与法向之间夹角tnarctan12.4aa（2）在时间t内矢径r所转过的角度为212Att飞机经过的路程为2t11722m2Asrvtat5．如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为0v。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。答案：20vxyud，即运动轨迹为抛物线。解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据题意，初始条件为0t时，000xy，00xv，0yvu。又根据题意，当2dy时，水流速度可表示为wvky，且当2dy时，0wvv。故02vkd即02wvvyd对小船有xwdxvvdt，ydyvudt利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得20uvxtd，yut联立消去t，得20vxyud上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当2dy时，水流速度应为2()wvkdy此时有2xwdxvvdt，ydyvudt根据前半部的计算结果知，在河心，即2dy时，2dtu，20024vvddxudu。以此为新的初始条件代入，积分doxyu0v2()xtywxtydydxvdtkdyu可解得，当2dy时200022vdvvxyyuuud可见小船运动轨迹仍为抛物线。