二元一次不等式组与简单的线性规划

二元一次不等式组与简单的线性规划●基础知识总结和逻辑关系梳理一、二元一次不等式表示的平面的区域1）二元一次不等式及其解得定义含两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式．使不等式成立的未知数的值叫做它的解．2）二元一次不等式表示的平面区域直线错误!未找到引用源。同一侧的所有点错误!未找到引用源。，实数错误!未找到引用源。的符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点错误!未找到引用源。，从错误!未找到引用源。的正负即可判断错误!未找到引用源。表示直线的那一侧的平面区域．特别地，当错误!未找到引用源。，常把原点作为特殊点．3）二元一次不等式表示平面区域的四种情形．①错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。②错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。③错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。④错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。二、二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域时各二元一次不等式表示的平面区域的公共部分．1）约束条件：①由未知数错误!未找到引用源。的不等式（或方程）组成的不等式组成为错误!未找到引用源。的约束条件．如：不等式组错误!未找到引用源。就是错误!未找到引用源。的一个约束条件．②线性约束条件：关于未知数错误!未找到引用源。的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为错误!未找到引用源。的线性约束条件．如：不等式组错误!未找到引用源。就是错误!未找到引用源。的一个约束条件．2）目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量错误!未找到引用源。的解析式．如：已知错误!未找到引用源。满足约束条件错误!未找到引用源。，分别确定错误!未找到引用源。的值，使错误!未找到引用源。取到最大值和最小值使错误!未找到引用源。达到最值，其中错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。均为目标函数．3）线性目标函数：目标函数为变量错误!未找到引用源。的一次解析式．如上例中，错误!未找到引用源。为线性目标函数，而错误!未找到引用源。就不是线性目标函数，只是一个目标函数．4）线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．①可行解：满足约束条件的解错误!未找到引用源。．②可行域：所有可行解组成的集合．③最优解：使目标函数取得最值的可行解．5）线性规划的图解法①画：在直角坐标平面上画出可行域和直线错误!未找到引用源。（目标函数为错误!未找到引用源。）②移：平行移动直线错误!未找到引用源。，确定使错误!未找到引用源。取得最大值或最小值的点．③求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．④答：给出正确答案三、归纳提高确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．注意：1）画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2）求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．●解题方法总结和题型归类一、求线性目标函数的最值求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【例1】设1m，在约束条件1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值小于2，则m的取值范围为（）A.(112)，B.(12)，C.(13)，D.(3)，【答案】A【解析】1mQ，故直线ymx与直线1xy交于1(,)11mmm点，目标函数ZXmy对应的直线与直线ymx垂直，且在1(,)11mmm点，取得最大值，其关系如下图所示：即2121mm，又1mQ，解得(1,12)m【例2】已知向量3axzr，，2byzr，，且abrr．若yx,满足不等式1yx，则z的取值范围为（）A.22，B.23，C.32，D.33，【答案】D【解析】Q向量3axzr，，2byzr，，且22330abxzyzrr，23zxy，Q满足不等式1yx的平面区域如下图所示：由图可知当0,1xy时，z取最大值3，当0,1xy时，z取最小值3，故z的取值范围为33，【例3】目标函数2zxy在约束条件30200xyxyy下取得的最大值是________．【答案】6【解析】作出不等式组30200xyxyy所表示的平面区域，作出直线20xy，对该直线进行平移，可以发现经过点(3,0)时,Z取得最大值为6.【例4】设变量xy，满足约束条件31xyxy，则目标函数2zyx的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】由约束条件31xyxy得如图所示的三角形区域，令2,2xyzyxz，显然当平行直线过点(1,2)A时，取得最小值4.【例5】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定．若(,)Mxy为D上的动点，点A的坐标为(2,1)则zOMOAuuuruur的最大值为()．A.3B.4C.32D.42【答案】B【解析】画出区域D，如图中阴影部分所示，而2zOMOAxyuuuruur，2yxz，令0:2lyx，将0l平移到过点(2,2)时，截距z有最大值，故max2224z.【点评】作出平行域D，然后解出目标函数z的表达式，用截距法求z的最大值．【例6】已知变量,xy满足条件23033010xyxyy若目标函数zaxy(其中0a)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是()．A.1(,)2B.1(,0)2C.1(0,)2D.1(,)2【答案】D【解析】画出,xy满足条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线230xy的斜率，即12a，12a.【例7】设变量xy，满足1xy则2xy的最大值和最小值分别为（）A.1，-1B.2，-2C.1，-2D.2，-1【答案】B【解析】约束条件1xy可化为：1,0,01,0,01,0,01,0,0xyxyxyxyxyxyxyxy，其所表示的平面区域如下图所示：由图可知当0,1xy时，2xy取最大值2，当0,1xy时，2xy取最小值-2.故选B.【例8】已知不等式组yxyxxa，表示的平面区域的面积为4，点,Pxy在所给平面区域内，则2zxy的最大值为______．【答案】6【解析】满足约束条件yxyxxa的平面区域如图：所以平面区域的面积12422Saaa，此时(2,2),(2,2)AB，由图得，当2zxy过点(2,2)A时，2zxy取最大值6.【例9】已知向量21axby，，，，其中0xy，．若ab4rr，则yx的取值范围为．【解析】【解析】【分析】由ab4rr，其中0xy，，可得24xy，故有04,02xy，从而得到42yx.二、求非线性目标函数的最值求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．【例1】设xyR,，且满足20xy，则22xy的最小值为；若,xy又满足4yx，则yx的取值范围是．【答案】2,(1,3)【解析】22222(2)2(1)22xyxxx，当1xy时取等号；画出204xyyx的可行域，为射线SP（如图），yx表示射线上的点与原点连线的斜率，由图易得(1,3)k，【例2】已知平面区域1||1(,)0,(,)01yxyxxyyMxyyx，向区域内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为（）A.14B.13C.12D.23【答案】C【解析】构成试验的全部区域为图中的三角形ABC,(1,0),(1,0),(1,2)ABC，面积为12222ABCS,基本事件点P落在区域M为图中的ABM，面积为12112，代入几何概率的计算公式可得12P.【例3】变量,xy满足430352501xyxyx，（1）设yzx，求z的最小值；（2）设22zxy，求z的取值范围．【答案】(1)min25OBzk(2)229z【解析】由约束条件430352501xyxyx作出(,)xy的可行域如图所示．由135250xxy解得22(1,)5A.由1430xxy解得(1,1)C．由43035250xyxy解得(5,2)B．（1）∵00yyzxx.∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知min25OBzk.（2）22zxy的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，minmax2,29dOCdOB.∴229z.【点评】利用目标函数所表示的几何意义求解．【例4】如果点P在平面区域22020210xyxyy上，点Q在曲线22()21xy上，那么PQ的最小值为()．A.32B.415C.221D.21【答案】A【解析】如图，当P取点1(0,)2，Q取点(0,1)时，PQ有最小值为32.【例5】已知点(2)Pt，在不等式组40,30xyxy表示的平面区域内，则点(2)Pt，到直线34100xy距离的最大值为____________．【答案】4【解析】由(2)Pt，在不等式组40,30xyxy表示的平面区域内，当2x时，240t，解得2t，230t，解得1t，可得[2,1]t，点(2)Pt，到直线34100xy距离1645td，当1t时距离最大max164145dd.【例6】已知不等式组110xyxyy表示的平面区域为M，若直线3ykxk与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）A.1[0]3，B.1(,]3C.1(0,]3D.1(,]3【答案】B【解析】满足约束条件110xyxyy的平面区域如图所示：因为3ykxk过定点(3,0)D，所以当3ykxk过点(0,1)A时，找到13k，当3ykxk过点(1,0)B时，对应0k.又因为直线3ykxk与平面区域M有公共点，所以103k.【例7】已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0222xyxy给定．若,Mxy为D上动点，点A的坐标为(2,1)．则zOMOA的最大值为（）A.42B.32C.4D.3【答案】C【解析】首先做出可行域，如图所示：2zOMOAxyuuuruur，即2yxz，做出0:2lyx，将些直线平行移动，当直线2yxz经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值.因为(2,2)B，所以z的最大值为4.三、线性规划的实际应用线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题．【例1】某企业生产A，B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力，煤和电耗如下表：产品品