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2.1合情推理与演绎推理知识要点梳理知识点一：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中推理和推理是最常见的合情推理。1.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为推理（简称归纳）。（2）一般模式：一般（3）归纳推理的结论真假2.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为推理（简称类比）.（2）一般模式：特殊（3）类比推理的结论真假知识点二：演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理.简言之，演绎推理是由到特殊的推理．（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.（3）演绎推理的结论一定合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到的推理．②类比推理是由到特殊的推理．③演绎推理是由一般到的推理．（2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论正确，有待证明。②演绎推理所得的结论正确。经典例题透析类型一：归纳推理1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.举一反三：【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…的前项和的归纳过程.【变式2】设，计算的值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确.【变式3】在数列中，a1=1，且，计算a2、a3、a4，并猜想的表达式.2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？举一反三：【变式1】平面中有n个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成块区域，有，，，……，则的表达式是___________.【变式2】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.类型二：类比推理3．在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角形的内切圆半径)．请类比写出四面体的有关性质．举一反三：【变式1】在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？【变式2】在中，若，则，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.【变式3】已知等差数列的公差为，前项和有如下性质：①通项②若，则③若，则.④，，构成等差数列.类比上述性质，在等比数列中，写出相类似的性质.【变式4】在△ABC中，若BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S—ABC中，若SA、SB、SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体S—ABC的外接球半径R=________.类型三：演绎推理4．已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，用三段论证明：∥平面举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提所以菱形是正多边形.………………………………………………结论（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？【变式2】写出三角形内角和定理的证明，并指出每一步推理的大前提和小前提.已知：中，求证：.【变式3】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求证：ED=AF.【变式4】用三段论证明函数在（－∞，+∞）上是增函数.【变式5】函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是___________.基础达标：1．下列关于归纳推理的说法中错误的是（）A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是由特殊到一般的一种推理过程C．归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识过程2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误3．数列3，8，15，___，35，48，…根据数列的特点，在横线“___”上，应填写的数字是（）A．２０B．２４C．２８D．３０4．由集合，，，…子集的个数归纳出集合的子集的个数为（）A．B．C．D．D．5．三角形的面积为、、为三角形三边长，为三角形内切圆的半径.利用类比推理可以得出四面体的体积为（）A．B．C．、、、分别为四面体的四个面面积，为四面体内切球的半径）D．为四面体的高）6．函数在上是增函数，函数是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是___________.7．在某报《自测健康状况》的报导中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中“”处.年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135145舒张压（水银柱毫米）707375788083888．设数列满足，，则＝_________，＝________，___________，由此，可猜测可能为＝___________（用表示）.9．从中得出的一般性结论是_____________.10．若数列中则.11．若，则____________.12．判断下列推理是否正确.（1）如果不买彩票，那么就不能中奖.因为你买了彩票，所以你一定中奖；（2）因为正方形的对角线互相平分且相等，所以，若一个四边形的对角线互相平分且相等，则四边形是正方形；（3）因为，所以；（4）因为，所以.13．找出圆与球相似的性质，并用圆的下列性质类比球的有关性质.①圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦；②与圆心距离相等的两弦相等；③圆的周长是直径）；④圆的面积.14．找出三角形与四面体相似的性质，并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质.15．证明函数在内是增函数．16．已知函数，定义域为，，对任意，有，猜想的表达式为（）A．B．C．D．17．设…，，则（）A．B．C．D．18．设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示这条直线交点的个数，则；当时__________（用表示）.19．由图1有面积关系：，则由图2有体积关系：________.20．在等差数列中,若,则有等式(,)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若,则有等式___________成立.21．如图所示，图(1)中有五条线段，图(2)、图(3)见下图，由此猜想第个图形中有线段的条数为.22．证明：函数的值恒为正数.23．数一数下图中的凸多面体的面数、顶点数和棱数，然后归纳推理得出它们之间的关系.