二次函数中和最小差最大

二次函数中求两条边和最小差最大问题，以及是否存在直角三角形问题27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线210yaxbxa过点1,0A，1,1B,与y轴交于点C．（1）求抛物线210yaxbxa的函数表达式；（2）若点D在抛物线210yaxbxa的对称轴上，当ACD△的周长最小时，求点D的坐标;（3）在抛物线210yaxbxa的对称轴上是否存在点P,使ACP△成为以AC为直角边的直角三角形？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.27．解：（1）∵抛物线210yaxbxa过点1,0A，1,1B，∴10,11.abab∴1,21.2ab∴抛物线的函数关系式为211122yxx.…………2分（2）∵122bxa，0,1C∴抛物线211122yxx的对称轴为直线12x.设点E为点A关于直线12x的对称点，则点E的坐标为2,0.连接EC交直线12x于点D，此时ACD△的周长最小.设直线EC的函数表达式为ykxm，代入,EC的坐标，则2m0,1.km解得1,21.km所以，直线EC的函数表达式为112yx.当12x时，34y.∴点D的坐标为13,24.…………4分（3）存在.①当点A为直角顶点时，过点A作AC的垂线交y轴于点M，交对称轴于点1P.∵AOOC，1ACAP，∴90AOMCAM.∵0,1C，1,0A，∴1OAOC.∴45CAO.∴45OAMOMA.∴1OAOM.∴点M的坐标为0,1.设直线AM对应的一次函数的表达式为11ykxb，代入,AM的坐标，则1110,1.kbb解得111,1.kb所以，直线AM的函数表达式为1yx.令12x，则32y.∴点1P的坐标为13,22.…………5分②当点C为直角顶点时，过点C作AC的垂线交对称轴于点2P，交x轴于点N.与①同理可得RtCON△是等腰直角三角形，∴1OCON.∴点N的坐标为1,0.∵2CPAC，1APAC，∴21CPAP∥.∴直线2CP的函数表达式为1yx.令12x，则12y.∴点2P的坐标为11,22.…………6分综上，在对称轴上存在点1P13,22，2P11,22，使ACP△成为以AC为直角边的直角三角形．…………7分二次函数中和最小差最大问题，以及三角形同底时，面积比等于高度比25．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°.（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，∵∠ABO=30°，A的坐标为（1，3），∴BF=3.∵OF=1,∴BO=2.∴B(-2,0).设抛物线的解析式为y=ax(x+2)，代入点A（1,3），得33a，∴232333yxx…………………………………2分（2）存在点C.过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E.当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小.yxBAO∵△BCE∽△BAF,∴AFCEBFBE.∴33BFAFBECE∴C（1，33）…………………………………4分（3）存在.如图，连结AO，设p(x,y)，直线AB为y=kx+b,则33,320.233kkbkbb解得，∴直线AB为32333yx，BODBPOBPODSSS四=12|OB||yP|+12|OB||yD|=|yP|+|yD|=23323333xx.∵S△AOD=S△AOB-S△BOD=3-21×2×∣33x+332∣=-33x+33.∴ODBODSSPA四=33233-33-33332xxx=32.∴x1=-21,x2=1(舍去).∴p(-21,-43).又∵S△BOD=33x+332,∴ODBBODSSP四=3323333332332xxx=32.∴x1=-21,x2=-2.P(-2,0)，不符合题意.∴存在，点P坐标是（-21，-43）.…………………………………8分