二次函数求解析式

求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。与X轴交点的情况当△=b2-4ac0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0),(x2,0);当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。Δ=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。二次函数解释式的求法：就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a，b，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a，b，c的方程，联立求解，再把求出的a，b，c的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。1.巧取交点式法：知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1)。解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4。②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2（a≠0）。把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1。②典型例题二：如果a0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a0，那么，当时，y有最大值，且y最大=。告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）。∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）。故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3。将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3,解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73。③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便。例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图像的解析式是y=x2-3x+5,则函数的解析式为_______。点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94,即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3个单位,再向下平移2个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：y=a（x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）（3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。求二次函数解析式的方法最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。直线y=x与抛物线y=x2-2的两个交点的坐标分别是（）A.（2，2），（1，1）B.（2，2），（-1，-1）C.（-2，-2），（1，1）D.（-2，-2），（-l，-1）直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是（）A.（1，3）B.（-2，0）C.（1，3）或（-2，0）D.以上都不是直线y=2x-1与抛物线y=x2的交点坐标是（）A.（0，0），（1，1）B.（1，1）C.（0，1），（1，0）D.（0，-1），（-1，0）二次函数的图象变换二次函数解析式例:如图抛物线y=ax2-5ax+4a与x轴相交于点A、B，且过点C(5，4)．(1)求a的值和该抛物线顶点P的坐标．(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，-3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．查看答案解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），把C（0，-3）代入得：3a=-3，解得：a=-1，故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3，∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=-x上．解析：（1）利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=-x2，进而得出答案．二次函数的图象变换二次函数解析式已知一个三角形的两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2-14x+48=0的一个根，则这个三角形的周长为______．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-7x+12=0的根，则该三角形的周长为（）A．10B．11C．10或11D．以上都不对一个三角形的两边长为8和6，第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，则这个三角形的周长是（）A．16B．16或18C．18D．24∵第三边的边长是方程（x-2）（x-4）=0的根，∴x1=2，x2=4，∵三角形的两边长为8和6，∴第三边的取值范围是：2＜x＜14，∴第三边x=4，∴这个三角形的周长是：6+8+4=18．故选C．若一元二次方程2x2-7x+5=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为______．方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为______．答案x2-9x+18=0，∴（x-3）（x-6）=0，∴x-3=0，x-6=0，∴x1=3，x2=6，当等腰三角形的三边是3，3，6时，3+3=6，不符合三角形的三边关系定理，∴此时不能组成三角形，当等腰三角形的三边是3，6，6时，此时符合三角形的三边关系定理，周长是3+6+6=15，故答案为：15．一个三角形两边长分别为3cm和7cm，第三边长为acm，且整数a满足a2-10a+21=0，求三角形的周长．由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）当a=5时，代入a2-10a+21=52-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．∴a=7是方程的根．（第二步）∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．上述过程中，第一步是根据______，第二步应用了______数学思想，确定a的值的大小是根据______．由已知可得4＜a＜10，则a可取5，6，7，8，9．（第一步）当a=5时，代入a2-10a+21=52-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．∴a=7是方程的根．（第二步）∴△ABC的周长是3+7+7=17（cm）．上述过程中，第一步是根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，第二步应用了分类讨论数学思想，确定a的值的大小是根据方程根的定义．故答案为：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，分类讨论，方程根的定义．.如果自变量的取值范围是全体实数，则当a0时，抛物线开口向上，有最低点，那么函数在处取得最小值y最小值=；当a0时，抛物线开口向下，有最高点，即当时，函数取得最大值，y最大值=。也即是：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。2.如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，，当x=x1时；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，，当x=x2时。