二次型及其应用

学生毕业论文课题名称二次型及其应用姓名兰海峰学号1209401-23学院数学与计算科学学院专业数学与应用数学指导教师陈暑波副教授2016年3月15日※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※2016届学生毕业论文材料（四）湖南城市学院本科毕业设计（论文）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业设计（论文），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业设计（论文）作者签名：二○一六年六月日目录摘要……………………………………………………………………………1关键词…………………………………………………………………………1Abstract……………………………………………………………………1Keywords……………………………………………………………………11.二次型基本理论………………………………………………………………21.1二次型的矩阵表示………………………………………………………21.2矩阵的合同关系…………………………………………………………21.3二次型的标准型、规范型及其性质……………………………………31.4正定二次型及其性质……………………………………………………32.二次型的实例应用……………………………………………………………52.1二次型在初等数学中的应用……………………………………………52.1.1二次型与因式分解…………………………………………………52.1.2二次型与不等式的证明……………………………………………72.1.3二次型在曲线上的应用……………………………………………72.1.4求解多元二次函数最值……………………………………………92.1.5二次型与条件极值…………………………………………………122.2二次型在高等数学中的应用……………………………………………132.2.1二次型在曲面上的应用……………………………………………132.2.2二次型在最小二乘法上的应用……………………………………14参考文献…………………………………………………………………………17致谢………………………………………………………………………………17附录………………………………………………………………………………181二次型及其应用摘要：二次型是代数学中的重要内容，它将二次函数与矩阵直观地联系起来，通过矩阵的表达与计算简化了研究二次函数性质的过程。然而，在本科阶段中对二次型的学习要求并不多。因此本课题通过研究利用二次型的各项性质解决在因式分解、不等式的证明、二元及多元二次函数的极值和最值等方面的判定和求法，以及部分曲线或曲面积分等情形的问题，扩充二次型在初等数学和高等数学中的使用范围，并使本科生能全面地认识和使用二次型。关键词：二次型；正定矩阵；正交变换；多元二次函数；曲面积分QuadraticFormandItsApplicationsAbstract：Quadraticformisanimportantcontentinalgebra,itconnectsquadraticfunctionwiththematrixintuitively,andmaketheprocesstoresearchthepropertiesofthequadraticfunctionseasierbyusingmatrix.However,intheundergraduatestudies,learningrequirementsforquadraticformisnotmany.Thus,thisprojectresearchesallthepropertiesofquadraticforminordertosolvethequestionsaboutfactorization,theproofofinequality,theextremumofthebinaryandmultivariatequadraticfunctionandapartofcurveandcurvedsurfaceintegral.Expandthequadraticformusingscopeofelementarymathematicsandhighermathematics,andmakeundergraduatesunderstandandusequadraticformthoroughlyatthesametime.KeyWords：QuadraticForm；PositiveDefiniteMatrix；OrthogonalTransformation；MultivariateQuadraticFunction；CurvedSurfaceIntegral21二次型基本理论二次型理论与高等代数理论、方法及其应用有着相辅相成的关系——二次型与多项式的相互表示、二次型矩阵的性质以及正定(半正定)二次型关于矩阵特征值等等。在此，我们详细说明二次型的一些重要理论。1.1二次型的矩阵表示二次型是满足特殊条件的多项式的集合，矩阵是代数学的基础，应用于各个分支。使用矩阵来表示二次型，将会极大程度的简化二次型函数的表达式和其运算。根据二次型的定义，将其表示为ninjjiijnxxaxxxf1121),,,(（1.1）把等式右边的系数转化为矩阵，即nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211。所以二次型（1.1）的矩阵表示为AXXxxxfn),,,(21其中A是表示其系数的对称矩阵，nxxxX,,,21。1.2二次型与矩阵的合同关系定义1.1[1]设数域P上nn的矩阵A和B，如果有同数域上的可逆的nn矩阵C，使得ACCB，则称A和B是合同的，即A与B是合同关系。显然，要使新二次型的矩阵还原至原二次型矩阵，只需再令XCY1-，而后做线性替换即可。所以，要了解或是使用原二次型的性质，可通过研究变换后的二次型的性质来实现。1.3二次型的标准型、规范型及其性质定义1.2[1]二次型),,,(21nxxxf经过非退化的线性的替换而成的平方和22222112121),,(),,,(nnnnyayayayyygxxxf（1.4）称为),,,(21nxxxf的一个标准型。3此时，二次型的系数矩阵应为naaaA00000021。根据二次型的标准型（1.4），再作一次对应的非退化线性替换可得222212121),,(),,(nnnzzzzzzhyyyg（1.6）（1.6）式即为复二次型),,,(21nxxxf的规范型，其中iz(ni2,1)属于复数域。同理，将实数域中的二次型标准型的系数取绝对值开方后加符号，可以得到定理1.1[1]（惯性定理）任一个实数域上的二次型，可以经过一系列非退化线性替换变为唯一的规范型，即2212212121),,(),,(rpprnzzzzzzzhyyyg另外，在实数域二次型),,,(21nxxxf的规范型中，我们将正平方项的个数p称为),,,(21nxxxf的正惯性指数，而将其负平方项的个数pr称为),,,(21nxxxf的负惯性指数；它们的差rpprp2)(称为),,,(21nxxxf的符号差。1.4正定二次型及其性质正定二次型是实数域二次型中特殊的集合，它们有着非常重要的性质。在初等数学和高等数学中，灵活运用正定二次型的性质可以让问题简化处理。定义1.3[1]如果对于任一组不全为零的实数nccc,,21都可使实数域二次型),,,(21nxxxf满足0),,,(21ncccf，则此二次型称为正定的。矩阵A称为正定矩阵，当且仅当二次型AXX正定时成立。对比正定性的定义，二次型的负定性、半定型与不定性有着类似的定义。这里给出正定二次型的一个特别的判断定理：定理1.2[1]实数域二次型AXXxxaxxxfninjjiijn1121),,,(是正定的充分必要条件为A的顺序主子式全大于零。关于半正定性（半负定性即在函数式添加负号，为简便故只讨论一种情况）的判定，4直接给出如下结论：定理1.3[1]对于实数域的二次型AXXxxxfn),,,(21，其中A是对称的实数域矩阵，则下述条件等价：（1）),,,(21nxxxf的正惯性指数与秩相等，（2）),,,(21nxxxf的正惯性指数为r，nr，其符号差也为r，（3）),,,(21nxxxf的规范型为22221ryyy，（4）存在实数域矩阵D，使得DDA，（5）矩阵A的所有主子式大于或等于零（主子式为行指标与列指标相同的子式）。（6）有可逆的实数域矩阵C，使ndddACC21，其中0id，ni,,2,1。需要注意的是，对于第（5）条，只判断顺序主子式的性质并不能确保半正定性。例如22212121))(1000)(,(),(xxxxxxxf就是负定的。2二次型的应用实例二次型基于函数与矩阵的关系，能有效的解决函数、矩阵方面的问题。因此，拓广二次型在初等数学和高等数学中的使用方式，能有效得体现出二次型的各项特性，并为充分认识和使用二次型形成了条件。2.1二次型在初等数学中的应用在初等数学中，函数的地位举足轻重。因此，讨论二次型在初等数学中关于函数的作用,既是对二次型的使用范围进行扩充、对其使用方式进行变通，同时也为解题思路提供了更多的方向。52.1.1二次型与因式分解因式分解，即把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式的过程。对二次型而言，其函数表达式最高为二次，因此在讨论因式分解时，其多项式次数大于三均不考虑。现假设有二元函数表达式为6251421322221121),(axaxaxxaxaxaxxf（2.1）此时，存在二次型无法表达的一次项和常数项，因此，将（2.1）式扩展为236325314213222211321),,(xaxxaxxaxxaxaxaxxxg后，可得)1,,(),(2121xxgxxf。下面，用矩阵表示出),,(321xxxg，可得3216545234313213212/2/2/2/2/2/,,),,(xxxaaaaaaaaaxxxxxxg取6545234312/2/2/2/2/2/aaaaaaaaaA，由定理1.2可知321321,,),,(yyyhxxxg，其中321,,yyyh是原二次型的规范型，而矩阵A应合同于规范型的矩阵B。现设出矩阵987000000aaaB,),,(321xxxg是通过非退化线性变换得到321,,yyyh，故对函数239228217321,,yayayayyyh而言，只需对应替换变量321,,yyy即可变换回),,(321xxxg。这就是说，要使原多项式可因式分解，只需239228217yayaya可因式分解。此时，987,,aaa应满足：（1）087aa（2）09a。可以得出以下定理：定理2.1[1]设存在实数域二次型f，则f可分解为两个实数域的一次齐次多项式乘积的充要条件为：秩为1，或者秩为2且符号差为0。下面给出一个实例。例2.1求解464462-6),(2121222121xxxxxxxxf是否可以进行因式分解？如果可以，请分解。解：将),(21xxf扩展为233231212221321464462-6),,(xxxxxxxxxxxxg，则6)1,,(),(2121xxgxxf。