二胡的物理参数的计算与测量

1二胡物理参数的计算与测量（2）袁振才（华润集团，广东深圳518026）【摘要】：本文简要地论述了圆形薄膜的振动理论；重点讨论并给出了如何利用相关理论来测量和计算琴皮的物理参数的方法。【关键词】面质量密度；表面张力；基频；质点振动系统；弹性控制区1引言上篇中我们讨论了有限长弦的振动理论，根据这些理论和相关知识，我们测量和计算出了二胡琴弦和琴筒的有关参数。二胡琴皮是一种薄膜，因此，本文首先讨论圆形薄膜的振动理论，根据这些理论，我们测量和计算出了二胡的其他物理参数，如膜（琴皮）的张力、面质量密度等。下面我们就分别讨论这几个问题。2膜（琴皮）的振动2.1对称圆形膜的自由振动二胡目前通常采用的是六角形琴筒，也有用圆形的。为简单起见，我们先讨论圆形琴筒上的薄膜的振动。由于我们只对有限圆对称振动感兴趣，即圆膜振动位移与无关，仅是r的函数，即0，由文献[1]可知，其振动方程为2222211tcrrr-----------------（1）其中------圆膜振动位移（M）r------膜上某点到原点的径向距（M）TcT------膜表面张力（N/M）-----膜的面质量密度（kg/M2）此为二阶偏微分方程。仍用分离变量法，设试探解为tTrRtr,。但由于我们只考虑简谐振动,因而可令其对于t部分的解为简谐函数，即tjetT，故试探解变为tjerRtr,------------------（2）经代入、变换，（1）式则变为0122RzRzzR--------------------------（3）其中zkr2（3）式是标准的零阶柱贝塞尔方程。其一般解只能为zAJzR0--------------------（4）所以，膜的位移tjtjekrAJekrRtr0,--------------------（5）我们知道圆形膜产生振动主要靠张力，也就是说要把膜绷紧，其边界必须固定。所以它的边界条件为0a这里a是圆膜的周界半径，又因0A，0tje，只能00kaJ---------------------------（6）这就是说，圆形膜周界固定的物理条件，数学上就归结为求零阶柱贝塞尔函数的根。据文献[1]附录，查得满足（6）式的根有n个,即nnak，,3,2,1n1=2.405,2=5.520,3=8.654...。已知，cfck2，Tc故有Taacfnnn223,2,1n则基频Taf2405.21--------------------（7）可见圆膜对称振动的基频与半径和面密度的平方根成反比，与张力的平方根成正比。圆形膜的自由振动是一系列简谐振动的叠加，这是圆形薄膜振动的固有特性。2.2对称圆形膜的强迫振动二胡琴皮是在受到琴码传递的振动后被迫振动的，因此它属于强迫振动。根据文献[1]已知，其振动方程为：22222211cPtcrrra其解即圆膜强迫振动的位移表达式为tjaeTkPkrAJtr20,---------------------（8）其中aP为琴皮受到的压强的振幅，ω为压强的圆频率。利用边界条件，在ar处应有0a,代入上式便可得kaJTkPAa021-----------（9）代入上式可得tjaetr,其中1002kaJkrJTkPaa-----------（10）这里a是位移的振幅。它表明当膜强迫振动时，它的位移振幅也与径向位置有关。不难看出，当ka=2.405、5.520、8.654……一系列数值时，a→，表明系统发生共振。实际上，由于有阻尼，振幅不可能无穷大，而应该是一个较大的数值。因此，在数学上可理解3为上式中kaJ0并不等于零，而是趋近零的较小的一个数。又因为当r=0时00J=1为最大，即振幅在圆膜中心处最大，而且随着r的增大而减小，至边界ar时为0。换句话说，当r取某一值时，随着强迫振动的频率f（也就是k值=ω/c=2πf/c）逐渐增大，发生共振时的振幅也会逐渐变小。在1ff(自由振动的基频)时，共振的振幅最大。利用这一特性，理论上我们可以测得1f，但要求施予膜的声压信号应比较恒定。为得到振幅与强迫力频率之间的关系，我们对位移振幅在径向0--ɑ间取平均值，即kaJkaJTkPrdrkaJkrJTkPadrraaaaaa02200022021221-----（11）仔细观察（11）式，当5.0ka时，将贝塞尔函数展开，便有861841121822222202kakakakakakakaJkaJ-----------（12）于是可得TaPkaTkPaa88222------------------------（13）由此可见，当强迫力频率足够低，即ka0.5，也就是f0.5C/a2时，膜的平均位移振幅近似与频率无关。这相当于质点振动系统中的弹性控制区。则f=/5.0Ca2Hz则是这一区域的上限频率。当a=0.0847m，f=323（Hz）2.3等效集中参数系统法由文献[1]可知，膜振动系统是一种分布参数系统，研究起来较复杂。我们可将其等效成集中参数系统，或者说是等效质点振动系统，这样处理起来就简单多了。具体做法是：用等效质量Men和等效弹性系数Ken来表述系统的简正频率enennMKf213,2,1n----------------------（14）其中nenmJM21ennenMK2----------------------（15）m为质点振动系统的实际质量，单位kg，且2am这里为圆形琴皮的面积，单位2M，a为圆形琴皮的周界半径，单位M为琴皮的面质量密度，单位2/Mkg。已知1n时，405.21，271.0405.221J，mMen271.0--------（16）则211111271.021271.02121aKmKMKfeeee----------------（17）由（7）式又知Taf2405.21故有MNTTKe/9244.4271.0405.221----------------（18）若在琴皮中心加一重物mM，则新的共振频率meeMMKf11'121-----------------（19）43二胡的物理参数的计算与测量3.1成品二胡琴皮的张力与面质量密度的简易测量与计算3.1.1測琴皮的基频1f按上图连好设备，并馈给扬声器额定功率的音频信号。特别提出的是，要求扬声器在100--500Hz范围频响比较平坦，为便于观察，在泡沫小柱侧面画一红线。琴皮与方柱用少许面糊粘接，不可用其他粘接剂，不然很难清除，损伤琴皮。步骤是：由低频向高频，缓慢转动音频信号发生器刻度盘，同时观察琴皮中心部位上方柱的振动情况，若出现明显振动，记下此时的音频频率，并以这个频率为中心，来回反复测试几次，最后确定使得方柱振幅最大的这个频率即为1f=318Hz3.1.2测琴皮附加重物后的共振频率'1f若在膜的中心处附加一重物mM=0.0155Kg，按上面的方法，再测出它的共振频率'1f=153Hz,则有0155.021211531111'1eemeeMKMMKf--------------（20）将上式与（17）式联立，可得KgMMme00467.0153231820155.015322222'1212'11故MNMKee/133.1863900467.0318221211KgMme0172.0271.000467.0271.01222/0576.304235.00172.0MKgamMNaT/098.3785405.20576.304235.031822221215需要说明的是，上面测量和计算的数据都是采用身边现有的二胡来进行的，不同二胡琴皮不同，其测量和计算出的数据也不同。另外，由于是简易测量，仪器精度不高，所测算出的数据仅供参考。作者简介：副研究员，从事电子电声工作近三十年，在国家核心刊物上发表译文、论文多篇参考文献：[1]杜功焕，朱哲民，龚秀芬.声学基础[M].南京：南京大学出版社，2012.5