二阶矩阵d

第1页共9页二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。一、二阶矩阵1.矩阵的概念①OP→(2,3)，将OP→的坐标排成一列，并简记为2323②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：初赛复赛甲8090乙8688③概念一：象238090868823324m的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A＝B。③行矩阵：[a11,a12]（仅有一行）④列矩阵：a11a21（仅有一列）⑤向量a＝（x,y），平面上的点P（x,y）都可以看成行矩阵[,]xy或列矩阵xy，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量xy的形式。概念二：由4个数a,b,c,d排成的正方形数表abcd称为二阶矩阵。a,b,c,d称为矩阵的元素。①零矩阵：所有元素均为0，即0000，记为0。②二阶单位矩阵：1001，记为E2.二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=abcd，与向量xy的乘积，即A＝abcdxy＝axbycxdy三、二阶矩阵与线性变换1.变换定义一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：xy→x′y′.一般地，对于平面向量的变换T，23m3－24yx23OP(2,3)—2—3—80908688231,3242xymzxyz简记为23324m第2页共9页如果变换规则为T：xy→x′y′＝ax＋bycx＋dy，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为xy→x′y′＝abcdxy的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，d∈R)．2.几种常见的平面变换(1)当M＝1001时，则对应的变换是恒等变换．(2)由矩阵M＝k001或M＝100k(k0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝cosθ－sinθsinθcosθ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6)由矩阵M＝1k01或10k1确定的变换称为切变变换．3.变换的复合与矩阵的乘法(1)一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足变换律．(2)矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)．(3)矩阵的乘法不满足消去律.习题：1.求点A(3,6)在矩阵1－1012对应的变换作用下得到的点的坐标．(－3,3)2.点(－1，k)在伸压变换矩阵m001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的值．(m=2.k=-4)3.已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x,2x)，则有a0b0xy＝x2x，∴a＝1b＝2，∴T＝1020.第3页共9页4.求曲线y＝x在矩阵0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．(x＝y)5.求直线x＋y＝5在矩阵0011对应的变换作用下得到的图形．(点(0,5))题型1求变换前后的曲线方程例1(2011·盐城三模)求曲线C：xy＝1在矩阵M＝11－11对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．解：设P(x0，y0)为曲线C上任意一点，它在矩阵M对应的变换下作用得到点Q(x，y)，由11－11x0y0＝xy，得x0＋y0＝x－x0＋y0＝y，解得x0＝x－y2y0＝x＋y2.因为P(x0，y0)为曲线C上一点，所以x0y0＝1，所以x－y2·x＋y2＝1，即x2－y2＝4，所以曲线C1的方程为x2－y2＝4.2.已知矩阵M＝1002，N＝12001，矩阵MN对应的变换把曲线y＝12sin12x变为曲线C，求曲线C的方程．解：MN＝100212001＝12002，设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y＝sinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有xy＝12002x0y0，即x＝12x0y＝2y0.所以x0＝2xy0＝12y.又点P(x0，y0)在曲线y＝12sin12x上，故y0＝12sin12x0，从而12y＝12sinx.所求曲线C的方程为y＝sinx.题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2已知圆C：x2＋y2＝1在矩阵A＝a00b(a0，b0)对应的变换作用下变为椭圆x29＋y24＝1，求a，b的值．解：设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P′(x′，y′)，则x′y′＝a00b第4页共9页xy，即x′＝axy′＝by.又因为点P′(x′，y′)在椭圆x29＋y24＝1上，所以a2x29＋b2y24＝1.由已知条件可知，x2＋y2＝1，所以a2＝9，b2＝4.因为a0，b0，所以a＝3，b＝2.变式训练：在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝1ab4对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a，b的值．解：在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2,0)，B(0，－2)，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′，B′，因为1ab4－20＝－2－2b，所以A′的坐标为(－2，－2b)；1ab40－2＝－2a－8，所以B′的坐标为(－2a，－8)；由题意A′，B′在直线m：x－y－4＝0上，所以－2－－2b－4＝0－2a－－8－4＝0，解得a＝2，b＝3.题型3平面变换的综合应用例3在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．解：由题设得MN＝k0010110＝0k10，由0k100－2－2001＝00k0－2－2，可知A1(0,0)、B1(0，－2)、C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2.所以k的值为2或－2.1.设T是以Ox轴为轴的反射变换，求变换T的矩阵．解：∵(x′，y′)＝(x，－y)，而x′y′＝100－1xy，∴T＝100－1.2.求圆x2＋y2＝1在矩阵A＝2003对应的变换下，得到的曲线的方程．解：设圆x2＋y2＝1上任意一点P(x1，y1)在矩阵A作用下变为Q(x，y)，则2003x1y1＝xy，所以x＝2x1y＝3y1，即x1＝x2y1＝y3.代入x21＋y21＝1可得到椭圆方程x24＋y29＝1.3.在线性变换x′y′＝1122xy下，直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点，求此点坐标．第5页共9页解：x′y′＝1122xy，x′＝x＋yy′＝2x＋2y，而x＋y＝k，x′＝ky′＝2k(k为常数)，所以直线x＋y＝k(k为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)．数乘平面向量与平面向量的加法运算1.数乘平面向量：设xy，是任意一个实数，则xy2.平面向量的加法：设11xy，22xy，则1212xxyy性质1：设A是一个二阶矩阵，,是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：()AA；②分配律：()AAA复合变换与二阶矩阵的乘法1.研究任意向量xy先在旋转变换30oR：13221322作用，再经过切变变换：1201作用的向量''xy2.二阶矩阵的乘积定义：设矩阵A＝1111abcd，B＝2222abcd，则A与B的乘积AB＝1111abcd2222abcd＝3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.(3)利用行列式解二元一次方程组．4.特征值与特征向量(1)设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ0)，或者方向相反(λ0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量.【定理】如果关于x,y的二元一次方程组axbyecxdyf的系数矩阵A＝abcd是可逆的，则该方程组有唯一解：xy＝1abcdef【推论】关于x,y的二元一次方程组00axbycxdy（a,b,c,d,均不为0），有非零解abcd=0一.特征值与特征向量第6页共9页【定义】设矩阵A＝abcd，如果存在实数及非零向量，使得A，则称是矩阵A的一个特征值。是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。【定理1】如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量，则对任意的非零常数k，k也是矩阵A的属于特征值的特征向量。【定理2】属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线。【可逆矩阵的充要条件】定理：二阶矩阵A＝abcd可逆，当且仅当detA=adbc0.此时1detdetdetdetdbAAAcaAA题型1求逆矩阵与逆变换例1将曲线y＝2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为y＝sinx，求变换矩阵M的逆矩阵．解：解法1：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点4x，y2，即Mxy＝4xy2，所以M＝40012，设M－1＝abcd，于是有MM－1＝40012abcd＝1001，所以4a＝14b＝0c2＝0d2＝1，解得a＝14b＝0c＝0d＝2，所以M的逆矩阵为14002.变式：已知M＝2－1－43，N＝4－1－31，求二阶方阵X，使MX＝N.解：解法1：设X＝xyzw，