二阶线性常微分方程的解的结构

二阶线性常微分方程的解的结构二阶线性常系数微分方程的解的求法二阶线性常微分方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)p(x)、q(x)、r(x)是区间I上的已知函数y’’+p(x)y’+q(x)y=0齐次y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0,非齐次【一】对齐次方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=01.若y1(x)和y2(x)都是上述齐次方程的解，则C1y1(x)+C2y2（x）仍是上述方程的解.2.若y1(x)和y2(x)在区间I上线性无关，即αy1(x)+βy2(x)=0仅当α=β=0时成立，则y=C1y1(x)+C2y2（x）即是y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解。【y’’+p(x)y’+q(x)y=0的任何一个解可表示成y=C1y1(x)+C2y2（x）的形式】由上述1和2，求y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解，只需找到两个其两个线性无关的特解.【二】对非齐次方程：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0y*(x)是其一y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个特解Y(x)是对应齐次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的某个解则1）y*’’+py*’+qy*=r2)y’’+py’+qy=r两式相减：（y-y*）’’+p(y-y*)‘+q(y-y*)=0记Y=y-y*,则Y是对应齐次方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解y=y*+Y即：y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的任何一个解y(x)都可以表示为：y(x)=y*(x)+Y(x)即：非齐次方程的通解=非齐次方程的一个特解+对应其次方程的通解.如何求二阶线性常系数齐次微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的通解？设y(x)是y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，p、q均为常数则在I内y’’(x)+py’(x)+qy(x)=0,恒成立所以y’、py’、qy必须能够抵消掉，即y、y’、y’’必须是同一类型的函数.只能是指数函数令kxey是方程y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的解即0k2kxeqpk）（，可得02qpkk02qpkk是一个一元二次方程，称为y’’+py’+qy=0的特征方程解一元二次方程得.24,24k2221qppkqpp则与k1k2对应的.,y2121xkxkeye必是y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的解但是.,y2121xkxkeye是否线性无关？【能否构成通解y’’+py’+qy=0（p、q为常数）】分类讨论：1.04p2q即k1k2是两个不等实根，且常数)(2121exkxkxkxkee，即.,y2121xkxkeye线性无关所以xkxkeCeC2121y2.04p2q.,k21ki是一对共轭的复根则)sin(cos)()sin(cos)()(2)(121xixeeexyxixeeexyxxixkxxixk线性无关复函数用起来不方便，不用其来构造y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的通解取其线性组合：xeeeixyxeeexyxxkxkxxkxksin)(21)(ˆcos)(21)(ˆ212121)(yˆ),(yˆ21xx是y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的解，且)(yˆ),(yˆ21xx线性无关.y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的通解：)sincos()(21xCxCexyx3.042qp此时k1=k2，即重根，记重根为k，kxex)(y1必是y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的一个解求通解，只需再找一个与kxex)(y1线性无关的解.将上述这个解表示成为待定函数但非常数)(,)(yxuexukx，代入y’’+py’+qy=0（p、q为常数），得到0])(')2(''[e2uqpkkupkukx，)2,0(k212pkkqpk所以u’’=0.取u(x)=x,则得到y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的另一个解kxxey此时y’’+py’+qy=0（p、q为常数）的通解为kxexCCx)()(y21如何求二阶线性常系数非齐次微分方程y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的通解？由刚开始的分析，只需求出它的一个特解y*(x)设齐次方程通解为)()()(2211xyCxyCxy，)()(y21xyx、是齐次方程的两个线性无关解设非齐次方程有一个形如)()()()()(2211*xyxCxyxCxy的解.上一行中的21,CC已变易为待定函数接下来的任务是选择)(),(21xCxC，使)()()()()(2211*xyxCxyxCxy是y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0的一个解将)()()()()(2211*xyxCxyxCxy代入y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0中得到：xyxCxyxCxyxCxyxCx'''''y22112211*因为只要求出一个特解，即只要确定一组函数)(),(21xCxC，我们就有比较大的自由度对)(),(21xCxC加以限制，如选择)(),(21xCxC使0''2211xyxCxyxC这样，xyxCxyxCxyxCxyxCxxyxCxyxCx22112211*2211*'''''''''y'''y'将xyxCxyxCxyxCxyxCxxyxCxyxCxxyxCxyxCx22112211*2211*2211*'''''''''y'''y'y代入y’’+p(x)y’+q(x)y=r(x)，r(x)≠0xrxyxCxyxCqxyxCxyxCpxyxCxyxCxyxCxyxC2211221122112211''''''''''xx21y,y都是齐次方程的解，可将上式化简为xrxyxCxyxC2211''0''2211xyxCxyxC与xrxyxCxyxC2211''是关于xCxC21,的线性代数方程组，解之，得xyxyxyxyxrxyxyxCxyxyxyxyxyxrxyxC21211122121221'''0','''0'再积一次分即可求出xCxC21,.这就是参数变易法求二阶线性常系数非齐次微分方程.