二阶非齐次线性微分方程的解法

目录待定系数法常数变异法幂级数法特征根法升阶法降阶法关键词：微分方程，特解，通解，二阶齐次线性微分方程常系数微分方程待定系数法解决常系数齐次线性微分方程21220,(1)dxdxLxaaxdtdt12,.aa这里是常数特征方程212()0Faa(1.1)(1)特征根是单根的情形设12,,,n是特征方程的(1.1)的2个彼此不相等的根，则相应的方程(1)有如下2个解：12,ttee(1.2)如果(1,2)ii均为实数，则(1.2)是方程(1)的2个线性无关的实值解，而方程(1)的通解可表示为1212ttxcece如果方程有复根，则因方程的系数是实系数，复根将成对共轭出现。设i是一特征根，则i也是特征根，因而与这对共轭复根对应，方程(1)有两个复值解(i)t(costsin),teeit(i)t(costsin).teeit它们的实部和虚部也是方程的解。这样一来，对应于特征方程的一对共轭复根i，我们可求得方程(1)的两个实值解cos,sin.ttetet（2）特征根有重跟的情形若10特征方程的k重零根，对应于方程(1)的k个线性无关的解211,t,t,kt。若这个k重零根10,设特征根为12,,,,m其重数为1212,,,k(k2)mmkkkk。方程(1)的解为11112222111,t,t;,t,t;;,t,t;mmmmttktttktttkteeeeeeeee对于特征方程有复重根的情况，譬如假设i是k重特征根，则i也是k重特征根，可以得到方程(1)的2k个实值解2121cos,cos,cos,,cos,sin,sin,sin,,sin.tttkttttktettettettetettettettet例1求方程220dxxdt的通解。解特征方程210的根为121,1有两个实根，均是单根，故方程的通解为12,ttxcece这里12,cc是任意常数。例2求解方程220dxxdt的通解。解特征方程210的根为12,ii有两个复根，均是单根，故方程的通解为12sincos,xctct这里12,cc是任意常数。某些变系数线性齐次微分方程的解法（一）化为常系数1.在自变量变换下，可化为常系数的方程一类典型的方程是欧拉方程221220dydyxaxaydxdx(2)12(0),.aya这里为常数，它的特点是的k阶导数（k=0,1,2,规定y=y）的系数是x的k次方乘以常数我们想找一个变换，使方程(2)的线性及齐次性保持不变，且把变系数化为常系数。根据方程x本身的特点，我们选取自变量的变换(t)x，并取(t)et，即变换e(tln)txx(2.1)就可以达到上述目的（这里设0x，当0x时，取txe，以后为确定起见，认为0x）。事实上，因为tdydydtdyedxdtdxdt22222()()ttdyddydtdydyeedxdtdtdxdxdt代入方程(2)，则原方程变为2122(1)dydyaayodtdt(2.2)方程(2.2)常系数二阶线性微分方程，由上可求得方程的通解。再变换(2.1)，代回原来的变量，就得到原方程(2)的通解。例求方程222540dydyxxydxdx的通解解此方程为欧拉方程，令etx，则由(2.2)知，原方程化为2244dydyyodtdt(2.3)其特征方程为2440特征根为122，故方程(2.3)的通解为212(cct)ety换回原自变量x，则原方程的通解为212(ccln)yxx2.在未知函数的线性齐次变换下，可化为常系数的方程现在考虑二阶变异系数线性方程2122()()0dydyPxPxydxdx(2.4)的系数函数12(),()PxPx满足什么条件时，可经适当的线性齐次变换()zyax(2.5)化为常系数方程。这里()ax是待定函数。为此，把(2.5)代入方程(2.4)，可得到'''''''112()z[2P()()][()P()()P()()]0axaxxaxzaxxaxxaxz(2.6)欲使(2.6)为常系数线性齐次方程，必须选取()ax使得'''zz、及z的系数均为常数。特别地，令'z的系数为零，即'12()0aPxa可求得11()d2()ePxxax再代入(2.6)，整理之，得到''2'21111[P()()()]042zxPxPxz(2.7)由此可见，方程(2.4)可经线性齐次变换11()dx2pxyez(2.8)化为关于z的不含一阶导数项的线性齐次方程(2.7)，且当z的系数2'21111()P()()()42IxxPxPx为常数时，方程(2.7)为常系数方程。因方程(2.4)在形如(2.8)的变换下，函数()Ix的值不会改变，故称()Ix为方程(2.4)的不变式。因此，当不变式()Ix为常数时，方程(2.4)可经变换(2.8)化为常系数线性齐次方程。例求方程2'''21()04xyxyxy的通解解这里12211(),()14PxPxxx，因22211111()1()()1442Ixxxx故令112dxxzyezx就可把原方程化为常系数方程''0zz可求得其通解为12cossinzcxcx代回原变量y，则得原来方程的通解为12cossinxxyccxx（二）降阶的方法处理一般高阶微分方程的基本原则是降阶，即利用适当的变换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程的求解问题。具体参考常微分方程的思想与方法，这里只讨论二阶的。已知22(t)(t)0dxdxpqxdtdt的一个特解10x，试求该方程的通解解作变换1xxydt，则原方程可化为一阶线性微分方程'1112(t)0,dyxxpxydx求解，得(t)dt1211,pycex所以原方程的通解为(t)dt121211.pxxccedtx法二设2x是方程的任一解，则有刘维尔公式得()12''12ptdtxxcexx其中常数0c，亦即()''1212.ptdtxxxxce以积分因子211x乘上式两端，就可推出(t)dt2211(),pxdcedtxx积分上式可得到(t)dt121211.pxxccedtx例求方程'''0xyxyy的通解解由观察知方程有一特解1()yxx，令yxz则''''''',2yzxzyzxz，代入方程，得2''2'(2)0xzxxz再令'zu，得一阶线性齐次方程2'(2)0xuxxu从而可得11222,xxeeuczcdxcxx取121,0,cc便得原方程的另一解22xeyxdxx显然，解12,yy线性无关，故方程的通解为122xeycxcxdxx幂级数法考虑二阶线性微分方程22(x)(x)y0(1)dydypqdxdx及初值00(x)yy及''00(x)yy的情况可设一般性，可设00x，否则，我们引进新变量0txx，经此变换，方程的形式不变，但这时对应于0xx的就是00t了.因此总认为00x.定理若方程(1)中的系数()px和()qx都能展成x的幂级数，且收敛区间为xR,则方程(1)有形如0nnnyax的特解，也以xR为级数的收敛区间.定理若方程(1)中的系数()px和()qx都能展成x的幂级数，且收敛区间为xR,则方程(1)有形如0nnnyax的特解，也以xR为级数的收敛区间.定理若方程(1)中的系数()px和()qx具有这样的性质，即()xpx和2()xqx都能展成x的幂级数，且收敛区间为xR,若00a，则方程(1)有形如0(1.1)nnnyxax的特解，是一个待定的常数.级数(1.1)也以xR为级数的收敛区间.例求方程'''240yxyy的满足初值条件(0)0y及'(0)1y的解解设2012nnyaaxaxax(1.2)为方程的解.利用初值条件，可以得到010,1,aa因而22nnyxaxax'2123123nnyaxaxnax''223232(n1)nnyaaxnax将''',,yyy的表达式代入原方程，合并x的同次幂的项，并令各项系数等于零，得到234220,1,0,,1nnaaaaan因而567891111,0,,0,,2!63!4!aaaaa最后得212111,0,(k1)!!kkaakk对一切正整数k成立.将(i0,1,2,)ia的值代回(1.2)就得到、252134222!!(1)2!!=e,kkxxxyxxkxxxxkx这就是方程满足所给初值条件的解.例用幂级数解法求解方程'''0yxyy解因为012()1,p(),()1pxxxpx，所以在00x的邻域内有形如00nnnyax的幂级数解.将'''000,,yyy代入原方程，得22023(2)[n(n1)(n1)]0.nnnnaaaax比较x的同次幂的系数，得203120,620,aaaa2(n1)(n1)0(n4).nnnana解得012320,1,,(1)232!nnnaaaaaan121(1).13(2n1)nnaa所以，原方程的通解为22101001(1)(),!213(2n1)nnnnnxyaaxn即2212010(1).13(2n1)xnnnyaeax方程组的消元法在某些情形下，类似于代数方程组的消元，我们可以把多个未知函数的线性方程组化为某一个未知函数的高阶微分方程来求解例求解线性微分方程组5,2.dxxydtdyxydx解从第一个方程可得1(),5dyyxdx(1.2)把它代入第二个方程，就得到关于x的二阶方程式2290.dxxdt不难求出它的一个基本解组为12cos3,sin3,xtxt把1x和2x分别代入(1.2)式，得出y的两个相应的解为1211(cos33sin3),(sin33cos3).55yttytt由此得到原来微分方程组的通解为125cos35sin3,cos33sin3sin33cos3xttccytttt其中1c和2c为任意常数二阶非齐次线性微分方程待定系数法常用于解决常系数非齐次线性微分方程2122,(2)dxdxLxaaxftdtdt12,aaft这里是常数，为连续函数类型一1011()e,(i0,1,m)1mmtmmiftbtbtbtbb设其中及为实常数，那么方程有形如1011(B)kmmtmmxttBtBtBe的特解，其中k为特征方程=0F的根的重数(单根相当于1k；当不是特征根时，取0k),而01,,mBBB是待定常数，可以通过比较系数来确定.类型二costsint,2atftAtBtttm设e其中是常数,而A,B是带实系数的t的多项式，其中一个的次数为m,而另一个的次数不超过,那么我们有如下结论：方程有形如costsintkatxtPtQte的特解，其中k为特征方程=0F的根ai的重数，而,PtQt均为待定的带实系数的次数不高于m的t的多项式，可以通过比较系数来确定.求方程222331dxdxxtdt