二面角及其度量

第1页（共43页）二面角及其度量（1）一．选择题（共40小题）1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C．D．6﹣42．如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为（）A．B．C．D．4．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上，AB=AC=，AA1=2，则二面角B﹣AA1﹣C的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．已知点E是正方形ABCD的边AD上一动点（端点除外），现将△ABE沿BE所在直线翻折成△A′BE，并连结A′C，A′D．记二面角A′﹣BE﹣C的大小为α（0＜α＜π）．则（）第2页（共43页）A．存在α，使得BA′⊥面A′DEB．存在α，使得BA′⊥面A′CDC．存在α，使得EA′⊥面A′CDD．存在α，使得EA′⊥面A′BC6．在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．7．如图，矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E（记为点P）恰好落在BC上，设AB=1，FA=x（x＞1），AD=y，则以下结论正确的是（）A．当x=2时，y有最小值B．当x=2时，有最大值C．当x=时，y有最小值2D．当x=时，y有最大值28．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当的值取到最大值时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥DB，若AB与CD所成的角的大小为60°，则二面角C﹣BD﹣A的大小为（）A．60°或90°B．60°C．60°或120°D．30°或150°10．已知二面角α﹣l﹣β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，设A，B到二面角的棱l的距离分别为x，y，当θ变化时点（x，y）的轨迹为（）A．圆弧B．双曲线的一段C．线段D．椭圆的一段第3页（共43页）11．如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，若PA=AB=2，AC=BC，则二面角P﹣AC﹣B大小的正切值是（）A．B．C．D．12．如图，已知△ABC，CD为∠ACB的角平分线，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为θ，则（）A．∠A′DB≤θ，∠A′CB≤θB．∠A′DB≤θ，∠A′CB≥θC．∠A′DB≥θ，∠A′CB≤θD．∠A′DB≥θ，∠A′CB≥θ13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使得点D落在线段AE上，则此时二面角D﹣EC﹣B的余弦值为（）A．B．C．D．第4页（共43页）15．如图，正方形ABCD与正方形ABEF构成一个的二面角，将△BEF绕BE旋转一周．在旋转过程中，（）A．直线AC必与平面BEF相交B．直线BF与直线CD恒成角C．直线BF与平面ABCD所成角的范围是[，]D．平面BEF与平面ABCD所成的二面角必不小于16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=AA1，P、Q分别是棱CD、CC1上的动点，如图．当BQ+QD1的长度取得最小值时，二面角B1﹣PQ﹣D1的余弦值的取值范围为（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，1]17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1B1CD与平面ABCD所成二面角为（）A．B．C．D．18．如图，在长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°19．如图，在四面体P﹣ABC中，PA、AB、BC两两垂直，且AB=，BC=，则二面角B﹣AP﹣C的大小为（）第5页（共43页）A．30°B．45°C．60°D．90°20．正△ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB，AC于点B1，C1，将△AB1C1沿B1C1折起到△A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M，则二面角A1﹣B1C1﹣M的平面角大小是（）A．B．C．D．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角D1﹣AB﹣D的大小是（）A．B．C．D．22．三棱锥A﹣BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为，，若＜，＞=，则二面角A﹣BD﹣C的大小为（）A．B．C．或D．或23．在四面体A﹣BCD，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=90°，A﹣BD﹣C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED的度数为（）A．45°B．90°C．60°D．30°24．椭圆+=1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点在平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°25．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°26．P是二面角α﹣AB﹣β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小为（）A．60°B．70°C．80°D．90°第6页（共43页）27．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α28．如图，正方形A1BCD折成直二面角A﹣BD﹣C，则二面角A﹣CD﹣B的余弦值是（）A．B．C．D．29．如图1，△ABC是等腰三角形，其中∠A=90°，且DB⊥BC，∠BCD=30°，现将△ABC沿边BC折起，使得二面角A﹣BC﹣D大小为30°（如图2），则异面直线BC与AD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°30．已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，并给出下面结论：①AC⊥BD；②AD⊥CO；③△AOC为正三角形；④，则其中的真命题是（）A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③31．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是（）A．B．C．D．32．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°33．如图，三棱柱ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等，侧棱与底面垂直，M是侧棱BB′的中点，则二面角M﹣AC﹣B的大小为（）第7页（共43页）A．30°B．45°C．60°D．75°34．已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．35．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°36．圆锥SO的底面半径为，母线长2，A，B是底面圆周上两动点，过S，A，B作圆锥的截面，当△SAB的面积最大时，截面SAB与底面圆O所成的（不大于的）二面角等于（）A．B．C．D．37．过边长为1的正方形ABCD顶点A，作线段EA⊥平面ABCD，若EA=1，则平面ADE与平面BCE所成二面角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．150°38．如图，三棱锥S﹣ABC中，棱SA，SB，SC两两垂直，且SA=SB=SC，则二面角A﹣BC﹣S大小的正切值为（）A．1B．C．D．239．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，3），B（3，﹣3），沿x轴把坐标平面折成60°的二面角后线段AB的长度为（）A．5B．7C．2D．第8页（共43页）40．如图，矩形ABCD中AB=2，BC=，M，N分别为AB，CD中点，BD与MN交于O，现将矩形沿MN折起，使得二面角A﹣MN﹣B的大小为，则折起后cos∠DOB为（）A．B．C．D．第9页（共43页）二面角及其度量（1）参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．（2016•河南模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=3，PB=2，PC=2，设M是底面三角形ABC内一动点，定义：f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别表示三棱锥M﹣PAB，M﹣PBC，M﹣PAC的体积，若f（M）=（1，x，4y），且+≥8恒成立，则正实数a的最小值是（）A．2﹣B．C．D．6﹣4【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．∴VP﹣ABC=×3×2×2=2=1+x+4y，即x+4y=1，∵+≥8恒成立，∴+=（+）（x+4y）=1+≥1+4a+4≥8，解得a≥∴正实数a的最小值为．故选：C．【点评】本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．2．（2016•嘉兴二模）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论错误的是（）第10页（共43页）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【分析】由题意画出图形，由已知二面角α﹣l﹣β小于90°，∠AOB为钝角，结合余弦定理可得∠A′OB′是钝角，由此可得答案．【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查空间想象能力和思维能力，关键是理解点在面上的射影的概念，是中档题．3．（2016•海南校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin＜，＞的值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦，利用三角函数的平方关系求出两个向量的夹角正弦．【解答】解：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1）第11页（共43页）可知=（2，﹣2，1），=（2，2，﹣1），∴，∴=﹣，由平方关系得sin＜，＞=．故选：B【点评】本题考查向量的坐标的求法、利用向