从一道中考数学试题谈起

第1页共9页从一道中考数学试题谈起江苏省泰州市朱庄中学曹开清225300这是江苏省泰州市2002年的一道中考数学试题：下面一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应是（）A、20022B、20022－1C、20012D、以上答案不对标准答案：由不完全归纳法，第1个数是02，第2个数是12，第3个数是22，第4个数是32，第5个数是42，所以第2002个数是20012，选C答案。（本题是考查考生运用不完全归纳法的能力，可把D答案改为如20012＋1。）笔者认为选C答案是错误的，应该选D答案。理由如下：不完全归纳法是根据一类事物中的部分对象具有(或不具有)某种属性，从而得出该类事物所有对象都具有(或不具有)某种属性的思维方法。这种归纳法是以一定数量的事实作为基础，进行分析研究，找出规律或提出猜想。但是，由于不完全归纳法是以有限数量的事实（特殊情况）作为基础而得出的一般性结论，这样作出的结论有时是不正确的。例如，本题中我们不妨设数列的通项为an＝2n-1＋15(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)，显然，a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝8，an＝16，……，而第2002个数并不是20012。虽然不完全归纳法的结论有时可能不正确，但它仍是一种重要的思维方法。通常是把不完全归纳法与数学归纳法结合起来使用，先用不完全归纳法发现规律或进行猜想，再用数学归纳法证明。正面的例子第2页共9页例1一个平面内的n条直线最多能将该平面分为几部分？一个平面内的n个圆最多能将该平面分为几部分？分析：1）1条直线最多能将一个平面分为2＝1+1部分；2条直线最多能将一个平面分为4＝1+1+2部分；3条直线最多能将一个平面分为7＝1+1+2+3部分；4条直线最多能将平面分为11＝1+1+2+3+4部分；…………由不完全归纳法，发现规律：n条直线最多能将平面分为1+1+2+3+4+……+n＝1+[(1+n)×n]/2部分。2）1个圆最多能将平面分为2＝1+1部分；2个圆最多能将平面分为4＝1+1+2部分；3个圆最多能将平面分为8＝1+1+2+4部分；4个圆最多能将平面分为14＝1+1+2+4+6部分；…………由不完全归纳法，发现规律：n个圆最多能将平面分为1+1+2+4+6+8+…+2(n-1)=2+n(n-1)部分。然后用数学归纳法证明。例2化简：Sn=1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+…+(n-1)/(n!)（其中n为整数，且n≥2）。分析：当n=2时，S2=1/2当n=3时，S3=5/6当n=4时，S4=23/24当n=5时，S5=119/120…………由不完全归纳法，猜想Sn=(n!-1)/n!(n≥2)，然后用数学归纳法证明。第3页共9页例3一个用不完全归纳法获得真理的故事英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文。在中学读书的时候，他运用数学和物理知识独立地测出伦敦磁针的变化为2°30′，在牛津大学学习期间，他不但设计了测定行星轨道单元的新方法，而且还编制出第一个南天星表。因而获得了较高的声誉。年轻的哈雷不久就被选上英国皇家学会的会员。1703年被聘任为牛津大学教授。1720年成为皇家天文学家，并担任格林威治天文台台长。哈雷是一位理论与实践相结合的科学家，他对大体星球轨道的研究不但进行理论上的探索与精密的计算，而且还坚持实地观察和测量。哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究。他从小就对彗星发生了极大的兴趣，他一心一意地进行了人类从未计算过的彗星轨道研究。他在观测1680年的大彗星之后，又对24颗彗星的轨道进行了计算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性。他用不完全归纳法得出了下面一个特性。即1531年—1456年＝75年；1607年—1531年＝76年；1682年—1607年＝75年。这表明，这三次彗星出现的间隔时间几乎相同，于是哈雷猜想，过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星。就是说，它可能先后三次经过那里。它以76年为周期绕日运转。哈雷从这个数学上的不完全归纳法得到的猜想进一步作理论上的研究，然后并以此为据，推想到这颗彗星下一次出现的时间将为1758或1759年间。哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到来，1759年3月13日，这颗明亮的彗星，拖着长长的尾巴果然出现在天空之中。全世界爱好天文的人们都欢腾起来，说哈雷的数学计算真是神妙，但可惜的是，那时哈雷已经离开人间17年了。大家为了纪念哈雷的预言，称这颗彗星为“哈雷彗星”，哈雷受到全世界人们的尊敬。人们根据哈雷的彗星计算原理进行推算，这颗哈雷亲眼看到的彗星将经过76年×3＝228年再次出现在地球上空，这就是说，到达1682年＋228年=1910年时，这颗哈雷彗星必然又将出现在地球上空，天文学家、数学家们经过计算，它与地球的距离已迫近到2400万公里，而它的尾巴长达2亿公里，很明显，这一望无际的长尾巴将会扫过地球而去。当时人们都担心这个尾巴当扫到地球上时将会出现什么，有些胆小的人（包括某些天文学家）都惊怕了，说哈雷彗星必将与地球相撞，地球的末日到来了，有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧，事先自杀了。199年5月18日哈雷彗星果真又出现在地球的上空而且它的尾巴也确实扫过了地球，人们照样还是安然无恙，其实彗星的尾巴只不过是一种极稀薄的气体和尘埃第4页共9页所组成，它的来到可能会有一些氰和一氧化碳分子进入地球大气层，但这与目前工厂和汽车每天排放的有害气体比较，就微不足道了，所以说哈雷彗星的尾巴扫过地球是没有什么影响的，即使是彗星的头，（即彗星核）碰上了地球也不会毁灭地球的，因为这个彗星头的质量也只有地球的一千分之一。哈雷彗星最近一次到来是1986年，因为1910年＋76年＝1986年。（这次哈雷彗星的回归，观察可分为两个时期；1985年11月1日至1986年1月16日，哈雷彗星在太阳之东；1986年2月27日至4月19日，哈雷彗星在太阳之西，在后面一个观察期内彗星容易看到且较为壮观。）哈雷能预言彗星的到来，这说明事物间是相互联系的，哈雷用数学上的不完全归纳法，在一系列彗星出现的时间表上归纳，猜想出一个新的设想，然后再加以论证，证实这个设想是正确的，于是推翻了前人的结论，得到了一个新的结论，获得了真理。我们学习数学，研究科学，就要在前人的基础上创新，从而推动科学的发展，造福于人类。反面的例子例1奈何姓万（古代笑话）汝有田舍翁，家资殷盛，而累世不识“之”、“乎”。一岁，聘楚士训其子。楚士始训之搦管临朱。书一画，训曰:“一字。”书二画，训曰:“二字。”书三画，训曰:“三字。”其子辄，欣欣然，掷笔归告其父，曰:“儿得矣，儿得矣！可无烦先生，重费馆谷也，请谢去。”其父喜，从之。具币谢遣楚士。逾时，其父拟征召姻友万氏者饮，令子晨起治状。久之不成，父趣之，其子恚曰:“天下姓氏夥矣，奈何姓万？自晨起至今，才完五百画也！”——选自【明】刘无卿《应谐录》例2“公鸡归纳法”有一次，我国数学家华罗庚在给中学生作报告时，讲了一个有趣的故事。一只公鸡被一位买主买回了家，第一天主人喂了公鸡一把米，第二天主人又喂了公鸡一把米，第三天主人也喂了公鸡一把米，连续十天每天都给公鸡喂一把米。公鸡有了十天的经验，它就下结论说：主人一定每天都喂它一把米，直到永远。但是就在它得出这个结论不久，主人家里来了一位客人，公鸡就变成下酒菜了。第5页共9页华罗庚把公鸡这种得出结论的方法称之为“公鸡归纳法”。例3哈佛大学的试题美国哈佛大学招生时，出了这样一道考试题：1=5，2=25，3=125，4=625，5=？结果绝大多数应考者都认为是55，即3125而做错。错误的原因在于用“不完全归纳法”得出的结论只是个猜测，不能代表最后结果。注：也有的考生答案是1。例4比较nn+1与(n+1)n的大小（其中n为正整数）错解：当n=1时，1221；当n=2时，2332。由不完全归纳法，得出一般结论：当n为任何正整数时，nn+1(n+1)n。而事实上，当n为正整数且n≥3的时，nn+1﹥(n+1)n。例5无论x取任何非负整数，y=x2+x+41都是质数？错解：在y=x2+x+41这个函数式中，当自变量x取0，1，2，3，……，38，39时，得出y的值为41，43，47，53，…，1601，这些数都是质数。由此得出无论x取任何非负整数，y=x2+x+41都是质数。而事实上，当x=40时，y=402+40+41=40×(40+1)+41=41×(40+1)=412。可见，y的值已不是质数，而是合数。例6费马数猜想－－大师的失误第6页共9页费马数（Fermatnumber）是指形如22n＋1的数（其中n为正整数），一般用Fn表示。1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的法国数学家费马思考了一个问题：式子22n＋1的值是否一定为质数。当n取1、2、3、4时，这个式子对应值分别为：F1＝221＋1＝5；F2＝222＋1＝17；F3＝223＋1＝257；F4＝224＋1＝65537；F5＝225＋1＝4294967297费马发现前4个都是质数，第5个数实在太大了，费马也认为是实数。由此，费马提出一个猜想：形如Fn=22n＋1的数一定为质数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如Fn=22n＋1的数永远为质数，很久以前我就向分析学家们指出了这个结论。”费马同时坦然承认，他自己未能找到一个完全的证明。费马所研究的22n＋1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是质数。费马的猜想正确吗？进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大，Fn迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5＝4294967297已经是一个10位数了。非常可能的是，由于这个数太大了，所以费马在提出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个质数呢？1729年12月，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中第7页共9页问道：“费马认为所有形如22n＋1的数都是质数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”这个问题吸引了欧拉。1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5＝641×6700417，这一结果意味着F5是一个合数，因此宣布了费马的这个猜想是错误的，它不能作为一个求质数的公式。以后人们又陆续找到了不少反例，如F6=226+1=18446744073709551617=274177×67280421310721F7=227+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217×5704689200685129054721都不是质数。至今，这样的反例共找到了48个，这些48个费马合数可以分成三类：①当n=5,6,7时，得到了Fn的标准分解式；②当n=8,9,10,11,12,13,15,16,18,19,21,23,25,26,27,30,32,36,38,39,42,52,55,58,63,73,77,81,117,125,144,150,207,226,228,250,267,268,284,316,452,556,744,1945时，只知道Fn的部分质因数；③当n=14时，只知道Fn是合数，但是它们的任何真因数都不知道。实际上千百年来，数学家们一直在寻找这样的一个公式，一个能求出所有质数的公式。但直到现在。谁也未能找到这样一个公式。而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在；这样的公式存不存在，也就成了一个著名的数论难题。虽然费马数作为一个关于质数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明了：如果费马数k是质数的话，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就根据这个定理用直尺和圆规作出了正十七边形。可见费马数与尺规作图问题有着深刻的内在联系。近年来，费马数在数字信号处理中得到应用。第8页共9页在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率