从一道课本习题的演化看高考复习如何回归课本

1从一道课本习题的演化看高考复习如何回归课本原题：已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为21的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。（人教版高级中学教科书（必修）数学第二册（上））1．特殊与一般的思考（1）：若将原比值21改为（0），则会对结论产生什么样的影响呢？探究：学生重新审视刚才的解题过程，不难发现比值一般化后的结果为：（ⅰ）=1时，轨迹为OA的中垂线（ⅱ）1时，轨迹为圆（2）：若将两个定点也一般化呢？探究：可以确立圆心与两定点在一般化下的位置关系。点评：高三复习要特别关注数学知识发展的过程性和整体性，注重知识的综合与内在联系及结论的深挖和拓展。通过比值的一般化,不但改变了结果的形式，同时也在探索中形成了结论。思考问题的深刻性也在无形中得到了熏陶和加强。2．显与隐的思考（1）隐于现实情景中例：竖在地面上的两根旗杆的高分别为10m和15m,相距20m，则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是＿＿＿探究：由题意得：PBBDPAAC32PBPA即点P到两个定点的距离之比为常数。点P的轨迹为圆（2）隐于四棱锥中例：在四棱锥P—ABCD中，AD面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形。AD=4，BC=8，AB=6，CPBAPD，则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是＿＿＿探究：由题意知PCPCBCCPB8sinPDPDADAPD4sin又APDCPB284PDPCPCPD由以上引申结论结合图形特点可知答案为不完整的圆（3）隐于圆中例：已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数（0）。求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？cAPDB2探究：（ⅰ）=1时，轨迹为直线（ⅱ）1时，轨迹为圆点评：“显”和“隐”不仅是知识交汇的“支撑点”，更是知识融合与交汇的“立意点”。只有能够将陌生的情景转化为熟悉的知识，完成由“隐”向“显”的转化,知识和能力也才算由“表”及“里”上升到一个新的“理解”层次。3.联想与类比的思考解析几何中包含着众多的比值关系，能否有效的加以联系和类比呢？（1）若将原题中的点O（0，0）变为直线ax时，即一动点到定点A（3，0）的距离与它到定直线ax的距离的比为21，则动点M的轨迹又会如何呢？探究：由椭圆的第二定义知道，该轨迹是椭圆，定点和定直线分别为椭圆的焦点和相应准线。（2）若原题中的点O（0，0）变为直线ax，比值也变为时，即一动点到定点A（3，0）的距离与它到定直线ax的距离的比为（0），则动点M的轨迹又会如何呢？探究：由圆锥曲线的统一定义不难得到下列结果：（ⅰ）01时,轨迹为椭圆（ⅱ）1时,轨迹为双曲线（ⅲ）=1时,轨迹为抛物线（3）由上我们得到了平面上一动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，在圆锥曲线的学习中我们又知道了和为定值的轨迹是椭圆，差为定值的轨迹是双曲线，不禁让我们思考积为定值的动点轨迹方程又会是怎样的呢？探究：类比原问题的轨迹求解，同学们很快便得到了动点的轨迹方程。但轨迹表示的是一种什么样的曲线，却引发了同学们课后的一次大讨论。未知曲线如何识，顶点﹑范围﹑对称性等做探求。通过经历和体验，不仅巩固了解析几何中利用曲线的方程研究曲线性质的重要思想，更让同学们体会了一次数学的奇异美。原来它的方程所描述的曲线形似细胞分裂的轮廓线，同学们认为应称它为“细胞分裂轮廓线”。点评：复习中，不仅要有横向的深入，更需要有纵向的联想，组合，类比。沟通知识联系，构建知识的有机整体，实现知识由“厚”到“薄”，由“散乱”到“有序”的转化，使学生对知识的理解以螺旋式上升，不断提升知识的系统性，关联性和网络性。提高思维的发散性，创新性。4推广与应用的思考立体几何和解析几何“同出一门”，常常让我们不自觉的就想起了某种联系。众所周知，在处理空间问题时，为了方便研究和简化讨论，总是把它转化为平面问题。那么，在教学中，能否将平面上的一些问题进行演变和推广，在空间深入研究，并从3中探索和发现平面﹑空间问题的内在联系呢？于是，我们得到：推广：（1）在空间中，有两个定点A，B，一动点P到两个定点A，B的距离之比为（0），则点P的轨迹是＿＿＿探究：（ⅰ）=1时，轨迹为AB的中垂面（ⅱ）1时，轨迹为球应用：（2）已知在长方体ABCD—1111DCBA中，P为对角面11BBDD上的一动点，若P到另外两个顶点CA,的距离之比为2，则P点的轨迹是＿＿＿探究：由上可知轨迹为不完整的圆，即面11BBDD截球的一部分。点评：揭示知识的内在联系，融会贯通，引申拓广，把单一的轨迹问题与平面几何，立体几何等知识都沟通起来，形成了一条较为完整的由平面到空间的知识链，发散链，不仅起到了举一反三，触类旁通，复习一例，解决一类的目的，更有效的提升了思维的广阔性。高三数学复习必须以课本为主，课本是知识体系的浓缩，反映的是知识间的经典关系，是高考试题的参照系和源泉。在高考数学复习过程中，要排除各种复习资料的干扰，回归课本，不能舍本逐末。并要系统掌握，提高学生运用课本知识﹑方法去解决各类题型的能力。但以课本为主不能仅仅只是停留在表面上“重复昨天的故事”，而应该对课本上的知识和方法加以“拔高”，加以成“串”，使知识在“拔高”和“串比”中“升华”，从而达到知识的融会贯通，并达到“由一通多”，“又多同一”的目的。参考文献：[1]蔡军喜.不容忽视的圆锥曲线的另类定义[J].数学通讯.2006.2[2]蔡军喜﹑胡晓丽.源自课本阅读材料的探究性学习课案一例[J].数学教学研究.2005.8