从离心率看圆锥曲线间的关系

共4页第1页从离心率看圆锥曲线间的关系早在17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一个形状的新思想的影响下，法国天文学家开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述．他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指明抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆．从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆，都可以从其中的一个连续地变为另一个，从而辩证地看到了各类圆锥曲线间的关系．下面我们从离心率对圆锥曲线的形状的影响入手，来研究圆锥曲线间的关系，为了讨论这个问题，我们首先在同一直角坐标系中把椭圆、抛物线、双曲线这三种曲线的方程统一起来．1．椭圆、抛物线、双曲线的统一方程将椭圆按向量平移得到，即．作椭圆的半通径（即过椭圆焦点且垂直于长轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故椭圆的方程可写成．类似地，将双曲线按向量平移得到共4页第2页，即．作双曲线的半通径（即过双曲线焦点且垂直于实轴的半弦），用表示，易证，同时易知．故双曲线方程可写成．对于抛物线，为半通径长，离心率，它也可写成，于是在同一坐标系下，三种曲线有统一方程，其中是曲线的半通径长，当，，时分别表示椭圆、抛物线、双曲线．2．从离心率看圆锥曲线间的关系设椭圆、双曲线、抛物线有相同的半通径，即统一方程中的不变，令离心率变化，在这种情况下，我们讨论曲线变化趋势．共4页第3页在同一坐标系下，作出这三种曲线如图所示，设，，分别是抛物线焦点、椭圆的左焦点和双曲线的右焦点，则有，，，所以．这说明点在点右侧，而点在点左侧．由此，我们来看三种曲线的位置关系（由曲线的对称性，只考虑第一象限内的情况），从统一方程不难看出，当任意取定时，设椭圆、抛物线和双曲线上对应点的纵坐标分别为，，，有．这说明，双曲线在抛物线上侧，而椭圆在抛物线下侧．下面我们进一步讨论圆锥曲线间的关系．（1）当离心率由小于1无限趋近于1时，．（符号“→”表示无限趋近于）．即．这说明椭圆的左焦点无限趋近于抛物线的焦点，且椭圆在第一象限内向上移动无限接近抛物线．共4页第4页又因为，所以．由于由小于1无限趋近于1，所以．这说明椭圆右焦点沿轴正向趋于无限远．因此可以看出，在椭圆的情况下，当时，椭圆的极限情况就是抛物线．（2）当离心率由大于1无限趋近于1时，，即．这说明双曲线右焦点无限接近于抛物线的焦点，且双曲线右支在第一象限内向下移动无限接近抛物线．又因为，所以．由于由大于1无限趋近于1，所以．这说明双曲线左焦点沿轴负方向趋于无限远．因此可以看出，在双曲线的情况下，当时，双曲线的极限情况就是抛物线．（3）在椭圆情况下，当时有，，，．故当时，椭圆的极限情况是以点为圆心、以为半径的圆．这个事实也可以从统一方程中，令，得到的就是这个圆的方程：．