云师堂,高考数学,2017一轮复习第九章第7讲.

第7讲离散型随机变量及其分布列第九章计数原理、概率、随机变量及其分布栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化________的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以__________的随机变量．而变化一一列出栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的____________，简称为X的________，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．概率分布列分布列栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥________(i＝1，2，…，n)；②∑ni＝1pi＝________．01栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P________________其中p＝____________称为成功概率．1－ppP(X＝1)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝___________，k＝0，1，2，…，m，其中m＝_____________，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．X01…mP________________…________CkMCn－kN－MCnNmin{M，n}C0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．辨明两个易误点(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．分布列的三种求法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率C栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是()A．X＝4B．X＝5C．X＝6D．X≤5C解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，故X＝6.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布3．(选修2­3P49习题2.1A组T4改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()X1234P121418p4A.1B.12C.14D.18D解析：由分布列的性质，得12＋14＋18＋p4＝1，所以p4＝18.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k15，k＝1，2，3，4，5，则P12X52＝________．15解析：P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为________．27220解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点一离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.首先列表为：X012342X＋113579|X－1|10123栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布从而由上表得两个分布列为：(1)2X＋1的分布列：2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列：|X－1|0123P0.10.30.30.3栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负；(2)若X为随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然为随机变量，求它们的分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布1.随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．23－13，13栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点二离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：(1)与排列、组合有关的分布列的求法；(2)与互斥事件有关的分布列的求法；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2015·高考安徽卷节选)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．[解](1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝A12A13A25＝310.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)X的可能取值为200，300，400.P(X＝200)＝A22A25＝110，P(X＝300)＝A33＋C12C13A22A35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝610.故X的分布列为X200300400P11031035栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布求离散型随机变量的分布列的三个步骤(1)找：找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1，2，…，n)，并确定X＝xi的意义；(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)；(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布2.(2016·兰州双基过关考试)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P＝C34＋C33C39＝584.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)X的所有可能取值为1，2，3，且P(X＝1)＝C24C15＋C34C39＝1742，P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33C39＝4384，P(X＝3)＝C22C17C39＝112.故X的分布列为X123P17424384112栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布考点三超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[解](1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0，1，2，3.于是可得其分布列为X0123P112512512112栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提升典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第九章计数原理、概率、随机变量及其分布在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．解：X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝4，P(X＝k)＝Ck5C4－k5C410，k＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为X01234P14252110215211