以形助数,以数解形浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

论文编号：以形助数，以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要：在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度.笔者结合教学实际，对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性.因此，笔者结合数学教学实际,探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”[1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法.利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂.数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题,应用代数、三角函数等知识进行讨论,或者把数量关系问题转化为图形问题,借助几何知识加以解决,使学生看到“形”能想到“数”,而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”[2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系.正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的.那么作为最基本的数学思想之一的数形结合思想，又是怎样体现在数学的具体应用中呢？下面我结合以下几个方面浅谈一下.一.以形助数，化难为易一些问题中的代数式,比如方程或不等式，若以图形的形式直观地表示出来,问题的结果便可一目了然.(一）在不等式中的应用例1.如图1，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b的解集是_________分析：这是一个解不等式的问题，如果直接去解不等式，是做不出的，因为将现有的已知点都代入解析式中，无法求出参数k、b,以及m的.所以，这个题必须借助图像，利用图像观察交点以及交点两侧的图像，来判断当x在什么范围时，y1＞y2或者y2＞y1解：不等式mx＞kx+b即y2＞y1，通过观察图像，结合p点横坐标，在交点p的右侧，即当x＞1时，y2＞y1∴mx＞kx+b的解集是x＞1（二）在方程或方程组中的应用例2.(1)求方程2211xx的实数根的个数.(2)求方程221xx2x的实数根的个数.分析与解答：我们学习了“用函数的观点看方程”，知道一元二次方程20axbxc的根的情况，可以看成是2yaxbxc(抛物线)与y=0(x轴)的交点的情况，我们既可以通过计算方程的判别式来判断，又可以通过函数图像的交点很形象、直观的判断.所以，（1）问中，我们可以把方程左边看成抛物线221yxx,右边看成直线y=-1，然后通过图2观察，会很快的发现，抛物线与直线没有交点，故原方程就没有实数根.(2)问中，如果直接去解方程，势必会图1y1=kx+by2=mxOPAxy得到一个三次方程，解起来很困难.若利用数形结合的方法，就简单直观了.求方程根的问题，转化成求函数221yxx与y=2x的图像的交点问题，通过观察图3，知道两图像只有一个公共点，所以原方程只有一个根.（三）函数与函数图像中的应用例3.抛物线2yaxbxc（a＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点p(3,0),试判断a-b+c的符号.分析：此题如果直接求a,b,c的话，根据已有的条件，a,b,c三个值是无法一一求出的，只能用一个字母表示出其他两个字母，然后代入可以将a-b+c求出.如果能从函数图像着手，以形助数的话，就很简单了.当x=-1时，y=a-b+c.如图4所示，很容易判断a-b+c是大于0的.(四)应用题中的应用例4.一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，当行驶1.5小时时，两车相距70千米，再过半个小时，两车相遇，求甲乙两地的距离.分析：此题如果用代数的解法，需要设三个未知数列方程组求解，可能还得用上整体代入的思想.但是如果能将两车的距离(y)与时间(t)的图像画出,如图5，再借助解析几何或平面几何的知识，会变得简单.解：法1：利用待定系数法将直线AB的解析式求出，y=-140x+280,甲乙两地的距离实际就是A点的纵坐标，故令x=0求出y=280.法2：设点（1.5,70）为C点，过C作CD⊥x轴于D，因为△AOB∽△CDB,700.52OA所以OA=280.二.以数解形，化繁为简几何图形中的问题转化为代数的知识来解,这种数形结合的解题方法贯穿在教材中,也是几何计算与证明中常常采用的方法.(一)解几何计算题例5.如图6，直线33yxb与y轴交于点A，与双曲线kyx在第一象限交于B、C两点，且AB·AC=4，则k=_________．解：设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1、x2是方程3-3kxbx的两根，∴x1x2=3k.又AB·AC=122233433xx∴k=3此题将反比例函数图像与代数相结合，利用直线解析式，先算出AB=1233x，AC=2233x，然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k的值.用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想.例6.如图7、∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为多少？图5O(时）(千米）xy21.570BA图6分析与解答：连CP交圆P于H点，连DE，DH.，则∠H=∠A=60°，∴DE=EH×sin60°=32EH所以，求DE的最大值，就是求EH的最大值.由于EH是动圆P的直径，AP是半径，所以再转化为求AP的最大值.因为A点固定，P是动点，由图可知当P运动到AO的延长线上时，AP最大，求出此时的AP即可.∵∠OAF=30°∴AO=2OF=2∴AP最大为3，∴EH最大值为6，DE的最大值就为33.（二）解几何证明题例7.证明:圆内接矩形以正方形的面积最大分析:如果用几何问题去解,解题方法不容易找到,所以把它转化为代数中求最值的方法来解答.利用配方法，可以把最值很快求出.解：如图8，设圆的半径为R，矩形的一边长为x,则其邻边长为224Rx.所以矩形的面积为S=224xRx.所以242222224(2)4SxRxxRR.当2x=22R时，2S有最大值44R，S有最大值22R，此时2xR，矩形为正方形.例8.如图9，以线段AB为直径作一个半圆，O点为圆心，C为半圆上一动点，已知AB=1，设AC=a，BC=b，证明：a+b的最大为2.分析：由于AC与BC长度都是变化的，而且在此图形中无法进行线段的转化.但是由于AB是定值，221ab，故可以用代数的方法进行探讨.解：222221,()212ababababab.12abab所以要求ab的最大值，即求ab的最大值.过C点往AB上作高，设其长度为h,则由面积法可得，ab=1h.即当h最大时，ab最大.此时看图比较容易发现，当C点运动到使CO⊥AB时，h最大，且为12.所以，当ab=12时，ab的最大值为2.图7FHBDPOAEC总之，数形结合思想是初中数学解题中的一种重要思想方法，它对于沟通知识之间的联系，激活学生的思维，提高学生的数学能力有独到的作用.因此，教师在教学中要有意识的去培养和提高学生这方面的能力，经过长期的训练，达到数与形的统一.参考文献[1]中华人民共和国教育部制订.初中数学课程标准，2012[2]周培喜.初中数学教学中数形结合思想的价值体现与应用.数学大世界（教育导向），2012，9bahCOBA图9图82Rx