五一建模数学

2016年五一建模数学竞赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们授权五一数学建模联赛赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为：1参赛组别（研究生或本科或专科）：本科所属学校（请填写完整的全名）山东科技大学参赛队员(打印并签名):1:高翔宇2：周方正3：王瑞临日期：2016年5月2日2016年第十三届五一数学建模联赛题目：我国二胎政策下的人口结构问题摘要本文为了研究“二孩政策”问题,主要通过建立数学模型对我国人口结构进行分析，用于解决我国人口的问题，并对于一些国家政策的提出给出合理化建议。对于问题一，本着科学性原则，完备性原则，主成分性原则，独立性原则，根据国家统计局的相关内容，建立人口结构可持续发展指标体系。对于问题二，为了建立人口结构可持续发展的结构模型，首先通过研究我国人口结构，再根据问题一所建立的体系，建立评价模型，计算每个要素的权重。因为各地区人口结构影响指标较多，本文选取5个人口结构指标来分析人口结构。采用层次分析法对5个人口结构指标进行综合分析，借助matlab求出各指标所占权重。进行一致性检验。通过统计局数据资料定出每个指标的等级，从而求得10个地区及A地的评价等级。对于问题三，未来A地区人口结构的动态预测。我组采用灰色预测中的GM（1,1）模型对A地区人口结构进行20年的动态预测，预测结果的相对误差小于10%，预测精度较高。预测的二十年结果见表格及图像。一.问题重述1.内容要点我国多年来实行计划生育基本国策，对我国的人口增长问题起到了巨大作用。在人口质量提升的同时，也给我国带来了人口老龄化严重，男女比例失调等问题。故2016年在全国范围内开放了二胎政策。解决开放二胎后可能引发的各种问题对现阶段的中国来说非常重要。2.需要解决的问题问题一：建立具有科学性，代表性和全面性的人口结构可持续发展指标体系。问题二：根据上述体系建立人口结构可持续发展的评价模型。并选取10个国内具有代表性的省（市县），对这些地区的人口根据做出的评价模型进行评价分级，并用模型给出附录中A地区的评价等级。问题三：预测不实行二胎政策的A地区未来20年的人口结构变化趋势；给出实行二胎政策下的A地区的最优出生率，使得未来20年人口结构更加合理。问题四：预测实行二胎政策的A地区未来10-20年按年龄划分的人口结构。问题五：在不限制生育数量的背景下，在国民经济运行稳定的基础上预测A地区未来20年人口结构的变化趋势。二．问题分析1.问题一的分析建立可持续发展指标体系即建立阶级层次结构。根据统计局资料建立目标层，准则层与指标层。2．问题二的分析问题一所建立的系统，我们可知，这是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统，故我们选择使用层次分析法来解决这个问题。3问题三的分析因为要预测变化趋势，故使用灰色预测模型来进行预测。并使用问题二的层次分析法所得出的权向量求得最终答案。4.问题四的分析因为预测人口结构，故使用队列要素法来进行预测。5.问题五的分析三．模型假设与符号系统符号意义A1人口结构B1.B2.B3自然，社会，地域C1.C2.C3.C4.C5年龄结构，性别比例，生育，地理位置，农业非农业λmax最大特征根CI一致性指标RI平均随机一致性指标CR一致性比例四．问题一的求解本着科学性原则，完备性原则，主成分性原则，独立性原则1.建立递阶层次结构2.目标层：人口结构。准则层：自然结构，社会结构，地域结构。指标层：年龄结构，性别比例，生育，人口地理结构，城乡结构。人口结构五．问题二的建模与求解采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。表二标度的含义标度含义社会结构地域结构自然结构生育地理结构人口城乡结构年龄结构性别比例135792,4,6,8,倒数表示两个因素相比，具有相同重要性表示两个因素相比，前者比后者稍重要表示两个因素相比，前者比后者明显重要表示两个因素相比，前者比后者强烈重要表示两个因素相比，前者比后者极端重要表示上述相邻判断的中间值若因素i与因素j的重要性之比为aij，那么因素j与因素i重要性之比为aji=1/aij。由国家统计局的数据资料，得出准则层的判断矩阵准则层判断矩阵AB1B2B3BIB2B311/31/4311/3431为了验证此判断矩阵数据可以使用，接下来对此矩阵进行一致性检验。运用matlab软件求出上述矩阵的最大特征根，特征向量运用matlab软件求出上式矩阵的最大特征根，特征向量A=1.00000.33330.25003.00001.00000.33334.00003.00001.0000V=Columns1through20.1722+0.0000i0.0861+0.1491i0.3943+0.0000i0.1971-0.3415i0.9027+0.0000i-0.9027+0.0000iColumn30.0861-0.1491i0.1971+0.3415i-0.9027+0.0000iD=Columns1through23.0735+0.0000i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0368+0.4739i0.0000+0.0000i0.0000+0.0000iColumn30.0000+0.0000i0.0000+0.0000i-0.0368-0.4739i得出λmax=3.0735由公式i）计算一致性指标CI得出CI=0.03675，CR=0.0625，即A的不一致程度在容许范围之内。同样的方法准则来求指标层对准则层的判断矩阵C1（第三层对于自然方面）158565/117458/17/114/14/15/14/14126/15/142/11对这个矩阵进行一致性检验CR=0.09＜0.1，此判断矩阵可以使用同理C2(第三层对于社会方面)15/164/13/151862/16/18/114/15/146/1413/132531、进行一致性检验CR＜0.1，此矩阵可以使用同理C3(第三层对地域方面)134/13/14/13/115/12/15/14512/14/132213/145431进行一致性检验，CR＜0.1矩阵可用层次总排序的结果为自然社会地域总排序权值准则层权值0.11380.31140.5749年龄结构0.10240.27130.38950.3201性别比例0.13010.18410.19090.1819生育0.03030.03550.25770.1627地理0.30030.39730.05120.1873城乡0.43640.11200.11070.1482根据地理位置，经济状态等因素，选出的十个城市分别为北京，吉林，上海，浙江，福建，山东，四川，云南，西藏，新疆。由国家统计局的第六次人口普查数据，将准则层的每一项都按数据定出相应的ABCD四个等级，A为最优，BCD依次降低。年龄结构：根据统计数据划出三个范围：0-19,19-60,60以上根据统计局的数据得出以下分级，数据为0-19岁A:23%-26%B：18%-23%，26%-29%C：13%-18%，29%-32%D：10%-13%，32%-35%性别比例：（女性100）男女比例城乡A.100-103A：50%以上B.103-106B：40%-50%C.106-109C：20%-40%D.109-112D：0%-20%出生率人口密度A0＜|1-出生率|≤0.125A：50-150B0.125＜|1-出生率|≤0.25B:150-350C0.25＜|1-出生率|≤0.375C：300-1000D0.375＜|1-出生率|≤0.5D：1000以上城市性别比例出生率非农人口比重人口密度年龄结构0-19总人数0-19所占比例北京103.650.93%63.10116726198418374910.142577025吉林101.880.61%44.2314747046525427050.185025396上海104.460.72%62.37362930768822450280.137053079浙江104.620.84%24.67535108011253593230.201538888福建104.030.99%21.7530480931034211600.236560114山东101.190.91%22.04610198530191976570.215848558四川101.950.73%33.80166202838380831290.250940323云南106.151.10%15.86117129743044109040.294141518西藏101.600.97%14.412.5883972621970.337139632新疆103.521.33%39.191361393920497340.299521304年龄结构性别比例生育地理结构非农人员比重得分评价等级北京60.006040.006010061.586C吉林80.0010040.0010010082.396B上海60.004060.004010057.456D浙江80.008080.00606071.854B福建100.00100100.00806088.534A山东80.00100100.00606078.746B四川100.0010060.00806082.026B云南60.00100100.001004077.236B西藏40.0060100.00404052.68D新疆60.0010060.00406062.45CA80.008060.004010070.774B由此也对A做出评价等级。根据加权求和得出每个地区的得分评价等级：85-100A级，70-85B级，60-70C级，60分以下D等级六．第三题的建模与求解问题3：假设A地区不实行二孩政策，预测该地区未来20年的人口结构变化趋势；根据问题2所求解的数学模型所得，即自然社会地域总排序权值准则层权值0.11380.31140.5749年龄结构0.10240.27130.38950.3201性别比例0.13010.18410.19090.1819生育0.03030.03550.25770.1627地理0.30030.39730.05120.1873城乡0.43640.11200.11070.1482继续对人口结构该综合指标进行定量评价。目标层人口结构（Z层）准则层自然社会地域（C层）方案层年龄结构性别比例生育地理城乡（D层）然后根据各层权数计算子目标层对总目标的合成权数，由上图可知C包含3个因素:C1,C2,C3，其对于上一层Z的权数分别为:c1，c2，c3。下一层D包含5个因素：D1,D2,D3,D4,D5,它们对于上一层因素的单准则排序权重为：b1j,b2j,b3j,b4j,b5j,则D层对于Z层的合成权数为:d=(d1,d2,d3,d4,d5)T，其中可得权数分别为年龄结构d1=b11c1+b12c2+b13c3=0.320，性别比例d2=b21c1+b22c2+b23c3=0.182，生育（出生率）d3=b31c1+b32c2+b33c3=0.163，地理d4=b41c1+b42c2+b43c3=0.187，城乡人口比例d5=b51c1+b52c2+b53c3=0.148，则综合指标值Z的计算公式为其中xij为原始数据,称Z为人口结构指数。因缺少数据，在此仅作1952年之后性别比例，出生率，非农业人