五年级奥数行程接送问题教师版

MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page1of17一、校车问题——行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。二、常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个三、标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。【例1】某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来做报告，往返需用1小时．这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40分到达．问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】车下午2时从学校出发，如图，例题精讲知识框架接送问题MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page2of17在C点与劳模相遇，再返回B点，共用时40分钟，由此可知，在从B到C用了40220分钟，也就是2时20分在C点与劳模相遇．此时劳模走了1小时20分，也就是80分钟．另一方面，汽车走两个AB需要1小时，也就是从B点走到A点需要30分钟，而前面说走完BC需要20分钟，所以走完AC要10分钟，也就是说2BCAC．走完AC，劳模用了80分钟；走完BC，汽车用了20分钟．劳模用时是汽车的4倍，而汽车行驶距离是劳模的2倍，所以汽车的速度是劳模速度的428倍．【答案】8倍【巩固】张工程师每天早上8点准时被司机从家接到厂里。一天，张工程师早上7点就出了门，开始步行去厂里，在路上遇到了接他的汽车，于是，他就上车行完了剩下的路程，到厂时提前20分钟。这天，张工程师还是早上7点出门，但15分钟后他发现有东西没有带，于是回家去取，再出门后在路上遇到了接他的汽车，那么这次他比平常要提前分钟到厂。【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】第一次提前20分钟是因为张工程师自己走了一段路，从而导致汽车不需要走那段路的来回，所以汽车开那段路的来回应该是20分钟，走一个单程是10分钟，而汽车每天8点到张工程师家里，所以那天早上汽车是7点50接到工程师的，张工程师走了50分钟，这段路如果是汽车开需要10分钟，所以汽车速度是张工程师步行速度的5倍，第二次，实际上相当于张工程师提前半小时出发，时间是遇到汽车之后的5倍，则张工程师走了25分钟时遇到司机，此时提前3025210（）（分钟）。【答案】10分钟【例2】A、B两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以装载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米每小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间？【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为（3+2+3）×8=64千米，这一段路，卡车行驶了64÷40=8/5小时，即1小时36分钟这也是两营士兵到达目的地所花的时间.学校工厂PCBAMSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page3of17【答案】1小时36分钟【巩固】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，两班的步行速度相等都是4千米/小时，学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，设两地相距150千米，那么各个班的步行距离是多少？【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】由于汽车速度是甲乙两班步行速度的12倍，设乙班步行1份，汽车载甲班到A点开始返回到B点相遇，这样得出:1:[(121)2]1:5.5BDBA，汽车从A点返回最终与乙班同时到达C点，汽车又行走了12份，所以总路程分成15.517.5份，所以每份1507.520千米，所以各个班的步行距离为20千米．【答案】20千米【例3】甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生步行，乙丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，此时甲、乙两班也恰好赶到终点，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，求这些学生到达终点一共所花的时间.【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点到出发点的距离是乙班学生搭车前步行距离的6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离为6份，大巴车第一次折返到接到乙班学生又行驶了5分距离，……如此大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为8份，所以大巴车共行驶了28千米，所花的总时间为28/55小时.【答案】28/55小时【巩固】海淀区劳动技术学校有100名学生到离学校33千米的郊区参加采摘活动，学校只有一辆限乘25人的中型面包车．为了让全体学生尽快地到达目的地．决定采取步行与乘车相结合的办法．已知DCBAFEDCBA丙乙甲MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page4of17学生步行的速度是每小时5千米，汽车行驶的速度是每小时55千米．请你设计一个方案，使全体学生都能到达目的地的最短时间是多少小时?【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】由于100名学生要分4次乘车，分别命名为甲、乙、丙、丁四组，且汽车的速度是步行速度的11倍，乙组步行1份路程，则汽车载甲组行驶6份，放下甲组开始返回与乙组的学生相遇，汽车载乙组追上甲组，把乙组放下再返回，甲组也步行了1份，丙组、丁组步行的路程和乙组相同，如图所示，所以全程为61119份，恰好是33千米，其中汽车行驶了339622千米，共步行了332211千米，所以全体学生到达目的地的最短时间为22551152.6（小时）【答案】2.6小时【例4】A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有__________千米．【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】整个行程如图所示．设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为x千米，第一次从队头到队尾时甲所行距离为y千米．由于每一次甲都是从队尾追上队头，再从队头回到队尾，追上队头是一个追及过程，回到队尾是一个相遇过程，而追及、相遇的路程都是队伍的长度，队伍的长度是不变的，所以每一次追及、相遇的时间也是不变的，所以每一次甲追上队头到下一次甲追上队头这段时间内队伍所行的路程(即图中相邻两条虚线之间的距离)都是相同的，而每一次6份1份1份1份1份1份5.6km22.4kmMSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page5of17从队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的．根据题意，甲第5次追上队头时距B地5.6千米，第7次追上队头时恰好到达B地，所以25.6x；从图中可以看出，722.4xy，所以：25.6722.4xxy，解得2.82.8xy．甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处，甲第5次追上队头时共行了2.82.852.8439.2千米，根据时间一定，速度比等于路程之比，可得:39.2:5.67:1vv乙甲．从甲第5次追上队头到甲第7次追上队头，甲共行了2.82.822.8216.8千米，所以这段时间内乙行了16.872.4千米，所以此时乙距A地还有22.45.62.414.4(千米)．【答案】14.4千米【巩固】A、B两地相距22.4千米．有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发．乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A地还有______千米．【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】填空【解析】设第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为x千米，从队头到队尾时甲所行距离为y千米．则有：25.6722.4xxy，解得2.82.8xy．所以有2.825+2.845.6vv乙甲＝，:7:1vv乙甲，因为2.82+2.8271S乙＝，所以2.4S乙，所以22.45.62.414.4(千米)【答案】14.4千米【例5】甲班与乙班学生同时从学校出发去公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。5.6km22.4kmMSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.行程.接送问题（ABC级）.教师版Page6of17为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是多少千米？【考点】行程问题之接送问题【难度】☆☆☆【题型】解答【解析】方法一：不妨设乙班学生先步行，汽车将甲班学生送至A地后返回，在B处接到乙班学生，最后汽车与乙班学生同时到达公园，如图：甲V：车V=1：12，乙V：车V=1：16。乙班从C至B时，汽车从C~A~B，则两者路程之比为1：16，不妨设CB=1，则C~A~B=16，CA=（1＋16）÷2=8.5，则有CB：BA=1：7.5；类似设AD=1，分析可得AD：BA=1：5.5，综合得CB：BA：AD=22：165：30，说明甲乙两班步行的距离之比是15：11。方法二：如图，假设实线代表汽车行驶的路线，虚线代表甲班和乙班行走的路线，假设乙班行驶1份到达C点，则汽车行驶16份到达E点，汽车与乙班共行驶15份在D点相遇，其中乙班步行了1151511617份，同时甲班步行了1542017317份，此时汽车与甲班相差1520516115171717份，这样甲班还需步行55115(484)4(15)171711份，所以甲班与乙班步行的路程比为2051(15)20111517515171711151117151111117方法三：由于汽车速度是甲班速度的12倍，是乙班速度的16倍，设乙班步行1份，则汽车载甲班学生到E点返回与乙班相遇，共行16份，所以:1:[(161)2]1:7.52:15ADDE，类似的设甲班步行1份，则汽车从