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例谈交轨法的应用交轨法:一般用于求二动曲线交点的轨迹方程.其过程是选出一个适当的参数,求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程1直线与直线相交:例:直线y=x与直线y+1-2x=0相交于一点m,求m?y=xx=1y+1-2x=0y=1m(1,1)析:简单题型,联立方程组,运算准确2直线与圆:已知⊙M:xQyx是,1)2(22轴上的动点,QA,QB分别切⊙M于A,B两点,(1)如果324||AB,求直线MQ的方程;(2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.(1)由324||AB,可得,31)322(1)2||(||||2222ABMAMP由射影定理,得,3|||,|||||2MQMQMPMB得在Rt△MOQ中,523||||||2222MOMQOQ,故55aa或,所以直线AB方程是;0525205252yxyx或(2)连接MB,MQ,设),0,(),,(aQyxP由点M,P,Q在一直线上,得(*),22xya由射影定理得|,|||||2MQMPMB即把(*)及(**)消去a,并注意到2y,可得).2(161)47(22yyx析:由M,P,Q在一直线上,确定点p在一条轨迹上,又根据相似(即射影定理)确定p在另一条轨迹上,同时满足两个轨迹方程,消参得p的轨迹方程。注意:y的范围容易成为盲点,造成失分。已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为2的线段AB在直线L上移动,如图。求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。(1985年理科高考)解:由于线段AB在直线y=x上移动,且AB的长2,所以可设点A和B分别是(a,a)和(a+1,a+1),其中a为参数。于是可得:直线PA的方程是)1()2()2(222axaay直线QB的方程是)2()1(112axaay1.当,0,1122时即aaaaa直线PA和QB平行,无交点。2.当0a时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得.2632,2232,221,)121(2yxxyayxyxayxxaxay将上述两式代入(1)式,得(*)18)1(8)1(0822)2(236322222yxyxyxxyxxyy即整理得当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式。所以(*)式即为所求动点的轨迹方程。析:本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.是由简单的直线交点问题转化而来,重点除了交轨法,就是破解线段长,将线段长转换为两点坐标间的关系。此题虽有一定难度,但认真破题,便迎刃而解。而且此题也给了我们启发,交轨法大多数是建立在有坐标的情况,此题将线段长转化为坐标,那么设想在下次遇见与坐标相差较远的已知条件时,不要胡乱发散,不如将条件向坐标转换。另:在遇到线段长时不到不得已,少用线段长公式,减少计算难度。总结:.“交轨法”理步骤一:建系设点;二:列式,可化为x=f(t),y=g(t)之类,t为参数;三,消参;四,检验,注意x,y在t的约束下范围(即由定义域t求值域x,y的问题).参数法应用范围较广,凡是未知数较多,要消去时,必然要用到参数法,它一般是自然而然的,若题中要专门考查参数法,多会在步骤三四设下障碍,步骤三消参可能消不掉,步骤四检验方程x或y范围易忽略(所得轨迹可能只是所求曲线的一部分)这就需要加强运算能力和思维的严谨性.能用点差法解决的问题也都能用“设而不求-韦达定理”解决。
本文标题:交轨法的应用小牟
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