隐函数求导例题

一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数在点的某一邻域内满足①具有连续的偏导数;②③则方程的某邻域内可唯一确定一个单值连续函数y=f(x),满足条件并有连续导数：(隐函数求导公式)例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数并求解:令则①连续，②③由定理1可知,在x=0的某邻域内方程存在单值可导的隐函数且导数的另一求法—利用隐函数求导两边对x求导),(yxF),(00yxP;0),(00yxF0),(00yxFy00),(xyxF在点,)(00xfyyxFFxydd01sinyxeyx,)(xfy0dd,0dd22xxyxxy,1sin),(yxeyyxFx,yeFxx0xyFycos,0)0,0(F1)0,0(yF,)(xfy0ddxxy0xFFyxxycosyex0,0yx10dd22xxy)cos(ddxyyexx1,0,0yyx3)(,01sinxyyyxeyx两边再对x求导令x=0,注意此时定理2.若函数满足:①在点的某邻域内具有连续偏导数,②③则方程在点某一邻域内可唯一确定一个单值连续函数z=f(x,y),满足并有连续偏导数例2.设解法1利用公式设则两边对x求偏导yycosxey0yx0xy)0,0(cosxyyex1yyyycos)(sin20yxyyex1,0yy30dd22xxy),,(zyxF),,(000zyxP0),,(000zyxF0),,(000zyxFz0),,(zyxF),(00yx,),(000yxfzzyzxFFyzFFxz,,04222zzyx.22xz求zzyxzyxF4),,(222,2xFx42zFzzxFFxz2zxzx2)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz解法2利用隐函数求导再对x求导例3.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,故解法2微分法.对方程两边求微分:0422xzxzzxzxxz222)(2xz222xzz0422xzzxz2222)(1xz322)2()2(zxz,0),(zyzxF.dz求是由方程设),(yxfz0),(zyzxFxz1F)(2zx2F)(2zyzF11211FyFxFzyz)()(2221zyzxFFzF12212FyFxFzyyzxxzzddd)dd(2121yFxFFyFxz0),(zyzxF1F)(dzx2F0)(dzy1F)dd(2zzxxz2F)dd(2zzyyz0zzFyFxd221zyFxFdd21)dd(d2121yFxFFyFxzz