二次函数与一元二次方程实际问题与二次函数教学案

二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数教学案一.教学内容：1.二次函数与一元二次方程2.实际问题与二次函数二、重点、难点：二次函数解析式的确定和二次函数的应用【典型例题】抛物线的解析式有三种形式：①一般式：（a≠0）；②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（－2，3）所以所以函数解析式为。点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。∴设二次函数的解析式为∵二次函数过（－1，－4）∴∴a＝1∴点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；（3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。解：（1）如图，点M即为所求。（2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。设经过点A、B、C的抛物线的解析式为，依题意，解得，所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为，把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，得：，所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。（3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，所以，在Rt△CED中，∠CED＝90°，所以，所以，所以∠MCD＝90°，因为MC为半径，所以直线CD是⊙M的切线。点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．解：（1）根据题意，，所以解得所以抛物线解析式为．（2）依题意可得的三等分点分别为，．设直线的解析式为．当点的坐标为时，直线的解析式为；当点的坐标为时，直线的解析式为．（3）如图，由题意，可得．点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为．连结．根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．5分所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．可求得直线的解析式为．可得点坐标为，点坐标为．由勾股定理可求出．所以点运动的最短总路径的长为．点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．图1解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），∴－2＝a×1×（－2），∴a＝1，∴y＝x2－x－2；其顶点M的坐标是（）．（2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t，h），∴解得：k＝，b＝－3，∴线段BM所在的直线的解析式为y＝x－3∴h＝t－3，∵－2h0，∴－2t－30，即t2∴S＝S△AOC＋S梯形OCNQ＝×1×2＋（2＋∣∣）t＝．∴s与t间的函数关系式为s＝．自变量t的取值范围为t2．（3）存在符合条件的点P，且坐标是P1（），P2（）．理由如下：设点P的坐标为P（m，n），则n＝m2－m－2．PA2＝（m＋1）2＋n2，PC2＝m2＋（n＋2）2，AC2＝5．分以下几种情况讨论：若∠PAC＝90°，则PC2＝PA2＋AC2．∴解得：m1＝，m2＝－1（舍去）∴P1（）．若∠PCA＝90°，则PA2＝PC2＋AC2．∴解得：m3＝，m4＝0（舍去）∴P2（）由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PAAC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角．（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（－），F（）．易证△AEO∽△OFC，∴，又AC＝，设OE＝a，则OF＝－a，AE＝，由勾股定理得：（）2＋a2＝1，∴a＝．∴OE＝，再设点E的坐标为（x，y），由射影定理得:x＝－，y＝，∴此时未知顶点坐标是E（－）；同理可求得点F的坐标为（）．【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空1、已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为。2、若二次函数的图像经过原点，则值必为。3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像，铅球推出的距离是4、已知二次函数的图像开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：________________。5、函数y＝的对称轴是x＝2，且经过点P（3，0），则a＋b＋c＝；6、抛物线经过点A（－1，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为。7、若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y＝的对称轴是_________。8、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在_________象限。9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。（1）观察图象，当x＝m时，窗户透光面积最大。（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是m。10、若点P（1，a）和Q（－1，b）都在抛物线y＝－x2＋1上，则线段PQ的长是____________．11、若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝。（只要求写出一个）12、函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k＝；交点坐标为。二、选择题：13、在半径为的圆面上，挖去一个半径为的圆，剩下的面积是，则与的函数关系式是（）A.B.C.D.14、二次函数的图像上有两个点A（－1，y），B（2，y），则y1、y2的大小关系为（）A.y＞yB.y≤yC.y＜yD.y＝y15、已知：a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数的图象上，则（）A.y1＜y2＜y3B.y1＜y3＜y2C.y3＜y2＜y1D.y2＜y1＜y316、二次函数y＝x2＋px＋q中，若p＋q＝0，则它的图象必经过点（）A.（－1，－1）B.（1，－1）C.（－1，1）D.（1，1）17、抛物线y＝ax2＋bx＋c顶点是（3，－5），且与y轴交于点（0，－2），则抛物线解析式为（）A.y＝3x2＋9x－14B.y＝3x2－16x＋22C.y＝x2－2x－2D.y＝x2－6x＋4.18、抛物线y＝ax2＋bx＋c中，a＞0，b＞0，c＜0，则顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限19、不论x为何值，y＝ax2＋bx＋c永远是正值的条件是（）.（其中△＝b2－4ac）A.a＞0，△＞0B.a＞0，△＜0C.a＜0，△＜0D.a＜0，△＞0.20、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，如图所示（△＝b2－4ac），那么（）A.b＞0c＜0△＞0B.b＞0c＞0△＞0C.b＜0c＜0△＞0D.b＜0c＞0△＜021、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m22、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx2＋（a＋b）x（）A.有最小值，且最小值是B.有最大值，且最大值是－C.有最大值，且最大值是D.有最小值，且最小值是－三、解答题1、已知二次函数经过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。（1）求此抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标：（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。2、如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，.（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（4）若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.