二次函数专题复习及答案

1二次函数专题复习二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2ba，顶点坐标是（-2ba，244acba）.例1已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx与二次函数22yxxc的图像交于点(1)Am，．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.解答：（1）把x=1，y=m代入y=5x，得m=-5，所以点A的坐标为（-1，-5）.把x=-1，y=-5代入y=-x2+2x+c，得c=-2.（2）因为y=-x2+2x-2=-（x-1）2-1，所以二次函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-1）.例2已知2yaxbx的图象如图1所示，则yaxb的图象一定过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限解：由图，可知a0，又由对称轴，可知-2ba0，∴b0.∴y=ax-b的图象一定经过第二、三、四象限.∴应选C.考点3.二次函数的平移当k0（k0）时，抛物线y=ax2+k（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h0（h0）时，抛物线y=a（x-h）2（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2向右（或向左）平移|h|个单位得例把抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A.y=3（x+2）2B.y=3（x-2）2C.y=3x2+2D.y=3x2-2解：把抛物线y=3x2向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的表达式应为y=3x2+2.∴应选C.专题练习一1.对于抛物线y=13x2+103x163，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时，y的最大值为-42D.抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c；②0abc；③0abc；④230ab；⑤40cb，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.解：设抛物线的表达式为y=a（x+1）2+4，因为抛物线经过B（2，-5），所以-5=a（2+1）2+4，即a=-1.所以抛物线的表达式为y=-（x+1）2+4=-x2-2x+3.例3已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）.由题意，得,824,0,024cbacbacba解得.4,2,2cba所以抛物线的解析式为.4222xxy（2）因为4222xxy=229)21(2x，所以抛物线的顶点坐标为).29,21(专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损图221012yx13x图23失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且tan∠ACO=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A，，(23)B，，(10)C，．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移个单位，使得该图象的顶点在原点．专项练习三1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为．3.已知函数2yaxbxc的图象如图3所示，那么关于x的方程220axbxc的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根．（2）写出不等式20axbxc的解集．（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单图4xy3322114112O图3xy034位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．参考答案专题练习一1.A解析：由y=13x2+103x163=13（x-5）2+3，∵130，∴开口向下，顶点坐标为（5，3）2.C解析：因为a=10，所以开口向上，A正确；把（0，-3）代入y=x2-2x+c中，解得c=-3，所以抛物线为y=x2-2x-3=（x-1）2-4，所以抛物线的对称轴是直线x=1，B正确；因为a=10，所以抛物线有最小值，且当x=1时，最小值为-4，故C错误；由x2-2x-3=0得x=1，x=3，所以抛物线与x轴交点为（-1，0），（3，0），D正确.3.y=（x+1）2-2解析：二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度所得图象的表达式为y=（x+1）2，再向下平移2个单位长度后，所得图象的表达式为y=（x+1）2-2.4.①②③⑤解析：因为抛物线开口向上，可知a0.再由对称轴x=2ba，所以b0.又2ba=3，得3b=-2a，所以2a+3b=0，所以④错误；由抛物线与y轴交于负半轴，可知c0，所以abc0，所以①、②均正确；观察图形可知x=-1时，y0，即a-b+c0，所以③正确；因为x=2时，y0，即4a+2b+c0，将3b=-2a代入4a+2b+c0，得-4b+c0，即c-4b0，所以⑤正确，所以①、②、③、⑤正确.专题练习二yxOBAC图220m10mEF图16m51.D解析：第一次降价后的价格为a（1-x），第二次降价后的价格为a（1-x）（1-x）=a（1-x）2，所以y=a（1-x）2.2.y=x2-2x-2解析：依题意，结合图象，当x=0时，y=c0，即OC=|c|，又tan∠ACO=12，CO=BO，所以OB=OC=|c|，OA=12|c|，而AB=3，所以12|c|+|c|=3，所以c=-2，所以点A的坐标为（-1，0），所以b=-1.使用这条抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.3.解析：设该抛物线表达式为y=ax2+bx+c.把（0，-2）、（1，3），（-1，1）分别代入上式，并解得a=4，b=1，c=-2.所以该抛物线的表达式为y=4x2+x-2.4.解析：（1）设23yaxbx，把点(23)，，(10)，代入得423330.abab，解方程组得12.ab，223yxx；（2）2223(1)4yxxx．函数的顶点坐标为(14)，．（3）要由（1，-4）变为（0，0），则应左移1个单位后，再上移4个单位，故应最少平移5个单位，才能使得该图象的顶点在原点.专项练习三1.k≥74且k≠0解析：抛物线与x轴有交点，即kx2-7x-7=0有实数根，所以（-7）2-4×（-7）×k≥0，解得k≥74且k≠0.2.x1=-1，x2=3解析：同例3.3.D解析：因为抛物线y=ax2+bx+c+2是由抛物线y=ax2+bx+c向上平移2个单位所得的图象，而抛物线y=ax2+bx+c的最低点的纵坐标为-3，所以抛物线y=ax2+bx+c+2的最低点的纵坐标为-1，故抛物线y=ax2+bx+c+2与x轴有两个交点，且都在y轴的右侧，所以方程ax2+bx+c+2=0有两个同号不等实数根.4.解析：（1）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点坐标是（1，0），（3，0），所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1，x2=3；（2）因为抛物线的开口向下，所以x轴的上方都满足ax2+bx+c0，即表达式ax2+bx+c0的解为1x3；（3）因为抛物线的对称轴方程是x=2，且a0，所以当x2时，y随x的增大而减小；（4）因为抛物线的顶点的纵坐标是2，所以要使方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，只要k2.专题训练四61.解析：（1）根据题意，得S=xx2260=-x2+30x，自变量x的取值范围是0x30.（2）∵a=-10，∴S有最大值.301522(1)bxa2243022544(1)acbSa最大∴当x=15时，S最大=225.答：当x为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．2.解析：设每间客房的日租金提高x个5元（即5x元），则每天客房出租数会减少6x间，客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时，y有最大值6750，这时每间客房的日租金为50+5×5=75（元），客房日租金总收入最高为6750元.3.解析：（1）根据题目条件，ABC，，的坐标分别是(100)(100)(06)，，，，，．设抛物线的解析式为2yaxc，将BC，的坐标代入2yaxc，得60100cac，解得3650ac，．所以抛物线的表达式是23650yx．（2）可设(5)FFy，，于是23564.550Fy从而支柱MN的长度是104.55.5米．（3）设DN是隔离带的宽，NG是三辆车的宽度和，则G点坐标是(70)，．过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则23763.06350Hy≈．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．yxOBACGNDH