1二次函数专题复习二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2ba,顶点坐标是(-2ba,244acba).例1已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5yx与二次函数22yxxc的图像交于点(1)Am,.(1)求m、c的值;(2)求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.解答:(1)把x=1,y=m代入y=5x,得m=-5,所以点A的坐标为(-1,-5).把x=-1,y=-5代入y=-x2+2x+c,得c=-2.(2)因为y=-x2+2x-2=-(x-1)2-1,所以二次函数的对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-1).例2已知2yaxbx的图象如图1所示,则yaxb的图象一定过()A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限解:由图,可知a0,又由对称轴,可知-2ba0,∴b0.∴y=ax-b的图象一定经过第二、三、四象限.∴应选C.考点3.二次函数的平移当k0(k0)时,抛物线y=ax2+k(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2向上(或向下)平移|k|个单位得到;当h0(h0)时,抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的图象可由抛物线y=ax2向右(或向左)平移|h|个单位得例把抛物线y=3x2向上平移2个单位,得到的抛物线是()A.y=3(x+2)2B.y=3(x-2)2C.y=3x2+2D.y=3x2-2解:把抛物线y=3x2向上平移2个单位,∴平移后的抛物线的表达式应为y=3x2+2.∴应选C.专题练习一1.对于抛物线y=13x2+103x163,下列说法正确的是()A.开口向下,顶点坐标为(5,3)B.开口向上,顶点坐标为(5,3)C.开口向下,顶点坐标为(-5,3)D.开口向上,顶点坐标为(-5,3)2.若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0,-3),则下列说法不正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是x=1C.当x=1时,y的最大值为-42D.抛物线与x轴交点为(-1,0),(3,0)3.将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2yaxbxc的图象中,观察得出了下面五条信息:①0c;②0abc;③0abc;④230ab;⑤40cb,你认为其中正确信息的个数有_______.(填序号)专题复习二:二次函数表达式的确定.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.若已知抛物线的顶点坐标或最大(小)值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0);3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).例2已知抛物线的图象以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),求该抛物线的表达式.解:设抛物线的表达式为y=a(x+1)2+4,因为抛物线经过B(2,-5),所以-5=a(2+1)2+4,即a=-1.所以抛物线的表达式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3.例3已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).由题意,得,824,0,024cbacbacba解得.4,2,2cba所以抛物线的解析式为.4222xxy(2)因为4222xxy=229)21(2x,所以抛物线的顶点坐标为).29,21(专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损图221012yx13x图23失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数表达式为()A.y=2a(x-1)B.y=2a(1-x)C.y=a(1-x2)D.y=a(1-x)22.如图2,在平而直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,点A在x轴负半轴,点B在x轴正半轴,与y轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是.3.对称轴平行于y轴的抛物线与y轴交于点(0,-2),且x=1时,y=3;x=-1时y=1,求此抛物线的关系式.4.推理运算:二次函数的图象经过点(03)A,,(23)B,,(10)C,.(1)求此二次函数的关系式;(2)求此二次函数图象的顶点坐标;(3)填空:把二次函数的图象沿坐标轴方向最少..平移个单位,使得该图象的顶点在原点.专项练习三1.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点,则k的取值范围是________.2.已知二次函数22yxxm的部分图象如图2所示,则关于x的一元二次方程220xxm的解为.3.已知函数2yaxbxc的图象如图3所示,那么关于x的方程220axbxc的根的情况是()A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.二次函数2(0)yaxbxca的图象如图4所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程20axbxc的两个根.(2)写出不等式20axbxc的解集.(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(4)若方程2axbxck有两个不相等的实数根,求k的取值范围.专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S(单位:平方米)随矩形一边长x(单图4xy3322114112O图3xy034位:米)的变化而变化.(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x是多少时,矩形场地面积S最大?最大面积是多少?2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?3.一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.参考答案专题练习一1.A解析:由y=13x2+103x163=13(x-5)2+3,∵130,∴开口向下,顶点坐标为(5,3)2.C解析:因为a=10,所以开口向上,A正确;把(0,-3)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3,所以抛物线为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,所以抛物线的对称轴是直线x=1,B正确;因为a=10,所以抛物线有最小值,且当x=1时,最小值为-4,故C错误;由x2-2x-3=0得x=1,x=3,所以抛物线与x轴交点为(-1,0),(3,0),D正确.3.y=(x+1)2-2解析:二次函数y=x2的图象向左平移1个单位长度所得图象的表达式为y=(x+1)2,再向下平移2个单位长度后,所得图象的表达式为y=(x+1)2-2.4.①②③⑤解析:因为抛物线开口向上,可知a0.再由对称轴x=2ba,所以b0.又2ba=3,得3b=-2a,所以2a+3b=0,所以④错误;由抛物线与y轴交于负半轴,可知c0,所以abc0,所以①、②均正确;观察图形可知x=-1时,y0,即a-b+c0,所以③正确;因为x=2时,y0,即4a+2b+c0,将3b=-2a代入4a+2b+c0,得-4b+c0,即c-4b0,所以⑤正确,所以①、②、③、⑤正确.专题练习二yxOBAC图220m10mEF图16m51.D解析:第一次降价后的价格为a(1-x),第二次降价后的价格为a(1-x)(1-x)=a(1-x)2,所以y=a(1-x)2.2.y=x2-2x-2解析:依题意,结合图象,当x=0时,y=c0,即OC=|c|,又tan∠ACO=12,CO=BO,所以OB=OC=|c|,OA=12|c|,而AB=3,所以12|c|+|c|=3,所以c=-2,所以点A的坐标为(-1,0),所以b=-1.使用这条抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.3.解析:设该抛物线表达式为y=ax2+bx+c.把(0,-2)、(1,3),(-1,1)分别代入上式,并解得a=4,b=1,c=-2.所以该抛物线的表达式为y=4x2+x-2.4.解析:(1)设23yaxbx,把点(23),,(10),代入得423330.abab,解方程组得12.ab,223yxx;(2)2223(1)4yxxx.函数的顶点坐标为(14),.(3)要由(1,-4)变为(0,0),则应左移1个单位后,再上移4个单位,故应最少平移5个单位,才能使得该图象的顶点在原点.专项练习三1.k≥74且k≠0解析:抛物线与x轴有交点,即kx2-7x-7=0有实数根,所以(-7)2-4×(-7)×k≥0,解得k≥74且k≠0.2.x1=-1,x2=3解析:同例3.3.D解析:因为抛物线y=ax2+bx+c+2是由抛物线y=ax2+bx+c向上平移2个单位所得的图象,而抛物线y=ax2+bx+c的最低点的纵坐标为-3,所以抛物线y=ax2+bx+c+2的最低点的纵坐标为-1,故抛物线y=ax2+bx+c+2与x轴有两个交点,且都在y轴的右侧,所以方程ax2+bx+c+2=0有两个同号不等实数根.4.解析:(1)因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点坐标是(1,0),(3,0),所以方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=1,x2=3;(2)因为抛物线的开口向下,所以x轴的上方都满足ax2+bx+c0,即表达式ax2+bx+c0的解为1x3;(3)因为抛物线的对称轴方程是x=2,且a0,所以当x2时,y随x的增大而减小;(4)因为抛物线的顶点的纵坐标是2,所以要使方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,只要k2.专题训练四61.解析:(1)根据题意,得S=xx2260=-x2+30x,自变量x的取值范围是0x30.(2)∵a=-10,∴S有最大值.301522(1)bxa2243022544(1)acbSa最大∴当x=15时,S最大=225.答:当x为15米时,才能使矩形场地面积最大,最大面积是225平方米.2.解析:设每间客房的日租金提高x个5元(即5x元),则每天客房出租数会减少6x间,客房日租金总收入为y=(50+5x)(120-6x)=-30(x-5)2+6750.当x=5时,y有最大值6750,这时每间客房的日租金为50+5×5=75(元),客房日租金总收入最高为6750元.3.解析:(1)根据题目条件,ABC,,的坐标分别是(100)(100)(06),,,,,.设抛物线的解析式为2yaxc,将BC,的坐标代入2yaxc,得60100cac,解得3650ac,.所以抛物线的表达式是23650yx.(2)可设(5)FFy,,于是23564.550Fy从而支柱MN的长度是104.55.5米.(3)设DN是隔离带的宽,NG是三辆车的宽度和,则G点坐标是(70),.过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则23763.06350Hy≈.根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.yxOBACGNDH