二次函数动点问题(含答案)2

1.如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(40)A，，(20)B，，(08)E，．（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．[解]（1）点(40)A，，点(20)B，，点(08)E，关于原点的对称点分别为(40)D，，(20)C，，(08)F，．设抛物线2C的解析式是2(0)yaxbxca，则16404208abcabcc，，．解得168abc，，．所以所求抛物线的解析式是268yxx．（2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，，，．过点N作NHAD，垂足为H．当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt．根据中心对称的性质OAODOMON，，所以四边形MDNA是平行四边形．所以2ADNSS△．所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt．因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t≤．所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t≤．（3）781444St，（04t≤）．所以74t时，S有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形．所以ODON．所以2222ODONOHNH．所以22420tt．解之得126262tt，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线234yxbxc与坐标轴交于ABC，，三点，点A的横坐标为1，过点(03)C，的直线334yxt与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PHOB于点H．若5PBt，且01t．（1）确定bc，的值：__________bc，；（2）写出点BQP，，的坐标（其中QP，用含t的式子表示）：(______)(______)(______)BQP，，，，，；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使PQB△为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．[解]（1）94b3c（2）(40)B，yCAOQHBPx(40)Qt，(443)Ptt，（3）存在t的值，有以下三种情况①当PQPB时PHOB，则GHHB4444ttt13t②当PBQB时得445tt49t③当PQQB时，如图解法一：过Q作QDBP，又PQQB则522BPBDt又BDQBOC△∽△BDBQBOBC544245tt3257t解法二：作RtOBC△斜边中线OE则522BCOEBEBE，，此时OEBPQB△∽△BEOBBQPB542445tt3257tCOPQDBCOPQEB解法三：在RtPHQ△中有222QHPHPQ222(84)(3)(44)ttt257320tt32057tt，（舍去）又01t当13t或49或3257时，PQB△为等腰三角形．解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的01t矛盾，应舍去4.如图①，正方形ABCD的顶点AB，的坐标分别为01084，，，，顶点CD，在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点40E，出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，PQ，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）求正方形ABCD的边长．（2）当点P在AB边上运动时，OPQ△的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求PQ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．（4）若点PQ，保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，OPQ∠的大小随着时间t的增大而减小．当点P沿着这两边运动时，使90OPQ∠的点P有个．（抛物线20yaxbxca的顶点坐标是2424bacbaa，．COPQHB[解]（1）作BFy轴于F．01084AB，，，，86FBFA，．10AB．（2）由图②可知，点P从点A运动到点B用了10秒．又1010101AB，．PQ，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PGy轴于G，则PGBF∥．GAAPFAAB，即610GAt．35GAt．3105OGt．4OQt，113410225SOQOGtt．即231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时4763311051555GPtOGt，，图①yDACPBOEQx图②O10t2028s点P的坐标为7631155，．（8分）方法二：当5t时，1637922OGOQSOGOQ，，．设所求函数关系式为220Satbt．抛物线过点63102852，，，，1001020286325520.2abab，31019.5ab，231920105Stt．19195323210ba，且190103≤≤，当193t时，S有最大值．此时7631155GPOG，，点P的坐标为7631155，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。．