二次函数小结与复习教学案

1二次函数小结与复习教学案一.教学内容：二次函数小结与复习二.重点、难点：1.重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.2.难点：⑴二次函数图象的平移；⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.三.知识梳理：1.二次函数的概念及图象特征二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．通过配方可写成，它的图象是以直线为对称轴，以为顶点的一条抛物线．2.二次函数的性质值函数的图象及性质＞0⑴开口向上，并且向上无限伸展；⑵当x＝时，函数有最小值；当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．＜0⑴开口向下，并且向下无限伸展；⑵当x＝时，函数有最大值；当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．23.二次函数图象的平移规律抛物线可由抛物线平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．4.、、及的符号与图象的关系⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0.开口向上；a＜0，开口向下．⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5.二次函数解析式的确定用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.6.二次函数的应用问题解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.【典型例题】例1.二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.分析：y=－x2+2x－1的顶点为（3，2），y=－x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离.解：y=－x2+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函数y=－x2+2x－1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，便得到y=－x2的图象．例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）3A.5B.4C.3D.2解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号.又a＞0，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c﹤O.∴ab＞0，ac﹤0.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0.∵对称轴x=－=－1，∴b=2a.∴2a+b﹥0当x=－1时，y=a－b+c﹤0.∴选C.例3.如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）A.－B.0C.－或0D.1分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，xA=OA；当点A在原点左侧时，xA+OA=0（注：点A在x轴上）.解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）.∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根，∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.解得m1=0，m2=－.又∵x﹥0，∴m=－不合题意.∴m=0，因此选B.例4.已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值a﹤0（a＞0）.解：∵二次函数y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值为0，4∴即解得m=1.例5.已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.解：∵二次函数y=（m+6）x2+2（m－l）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，∴∴m≤－且m≠－6.例6.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4.9－2.4）=2.5.由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2.4=1.6时，求出x的值.解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4.9－2.4=2.5，C点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x－5）2+2.5.把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2.5.解得a=－.∴y=－（x－5）2+2.5.当y=4－2.4=1.6时，1.6=－（x－5）2+2.5.解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）.∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）.故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.5点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4.9－2.4）而不是4.9；（2）求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意.例7.今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图.⑴如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P处的水平距离OP为多少米？⑵如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离为400米，要使飞机仍在⑴中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？分析：⑴中由题意可知抛物线的顶点坐标为（0，1000），点C的坐标为（200，840），因此可设抛物线关系式为y=ax2+1000，再把点C的坐标代入即可；⑵由题意知C（400，h－160），再由P点坐标即可求出关系式.解：⑴由题意知，A（0，1000），C（200，840）.设抛物线的关系式为y=ax2+1000，把x=200，y=840代入上式，得840=a·40000+1000.解得a=－.∴y=－x2+1000.当y=0时，－x2+1000=0.解得x1=500，x2=－500（舍去）.∴飞机应在距P处的水平距离OP=500米的上空空投物资.⑵设飞机空投时离地面的高度应调整为h米，则设抛物线的关系式为y=ax2+h.把点C（400，h－160）代入上式，得h－160=a·4002+h.解得a=－.∴y=－x2+h.把x=500，y=0代入上式，得0=－×5002+h.∴h＝250.∴飞机空投时离地面的高度应调整为250米.点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式.例8.有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；6丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式.分析：本题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与x轴、y轴交点坐标、分类讨论思想.解：如图，设抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于C，则AB·OC=3.∴AB·OC=6.分类讨论：⑴若AB＝2，则OC＝3.∴A（3，0），B（5，0），C（0，3）或（0，－3）.⑵若AB=4，则OC=1.5.∴A、B、C三点的坐标都为整数，故不合题意.⑶若AB=6，则OC=1.∴A（1，0），B（7，0），C（0，1）或（0，－1）.用待定系数法求得y=x2－x+1或y=－x2+x－1或y=x2－x+3或y=－x2+x－3.点拨：只需填写一个答案即可.例9.阅读下面材料，再回答问题.一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）=－f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果函数f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫偶函数.例如f（x）=x3+x，当x取任意实数时，f（－x）=（－x）3+（－x）=－x3－x=－（x3+x），即f（－x）=－f（x），所以f（x）=x3+x是奇函数.又如f（x）=|x|，当x取任意实数时，f（－x）=|－x|=|x|，即f（－x）=f（x），所以f（x）=|x|是偶函数.问题：⑴下列函数中：①y=x4；②y=x2+1；③y=；④y=；⑤y=x+.所有奇函数是，所有偶函数是.⑵请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.分析：本题综合运用函数及一次函数、二次函数等知识，通过阅读理解奇函数、偶函数的定义，分析理解所给例子，灵活解决问题，因此要认真理解奇函数，偶函数定义，仔细比较所给的两个例子.解：⑴∵（－x）4=x4，∴y=x4是偶函数.∵（－x）2+l=x2+1，∴y=x2+l是偶函数.∵，∴y=是奇函数.7∵和－不一定相等，∴y=即不是奇函数，也不是偶函数.∵（－x）+，∴y=x+是奇函数.∴①②是偶函数，③⑤是奇函数.⑵如y=x是奇函数，y=2x2－1是偶函数.例10.已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B，且∠AOB=90°.⑴判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；⑵确定抛物线y=ax2（a＞0）的关系式；⑶当△AOB的面积为4时，求直线AB的关系式.分析：⑴中A、B两点是抛物线与直线的交点，因此可列方程组并结合一元二次方程根与系数的关系来求解，在此基础上，再求⑵⑶.解：⑴直线AB过P（0，2），∴设直线AB的关系式为y=kx+2.由y=kx+2①，y=ax2②，得ax2－kx－2=0.③设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，则x1，x2是方程ax2－kx－2=0的两根，∴x1+x2=，x1x2=－.∴y1·y2=ax12·ax22=a2·=4.∴A、B两点的纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值.⑵如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N.∵∠AOB=90°，∴∠1+∠2=90°.又∵∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1.∴Rt△AOM∽Rt△OBN.∴.∴.∴y1y2=－x1x2，即4=，∴a=.∴y=x2.⑶S△AOB=4，即S梯形AMNB－S△AOM－S△BON=4.∴（y1+y2）（x2－x1）－（－x1）y1－x2y2=4，（x2y1－x1y2）=4.8∵y1=x12，y2=x22，∴x1x2（x1－x2）=4.又∵x1·x2=－4.∴x1－x2=－4，（x1－x2）2=32.∴（x1+x2）2－4x1x2=32.解得k1=2，k2=－2.∴y=2x+2或y=－2x+2点拨：二次函数与一元二次方程、相似形等有着密切的联系，解答综合题时要充分展开联想，弄清它们之间的密切联系.【模拟试题】（答题时间：60分钟）一.选择题：1.下列各式中，是二次函数的有（）（1）y=2x2－3xz+5；