二次函数最值问题专题讲解与训练个性化教案

个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄）海豚教育个性化教案编号：二次函数最值问题专题讲解及训练知识要点：用二次函数解决最值问题二次函数的一般式cbxaxy2(0a)化成顶点式abacabxay44)2(22，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值．如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小．题型一：面积最大（或最小值）问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．典型例题[例1]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：xx4342432(米)则：)434(xxSxxx34424289)417(42x∵104340x∴2176x∵6417，∴S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内，而当2176x内，S随x的增大而减小，∴当6x时，604289)4176(42maxS(平方米)答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例2]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）易知CN=4-x，EM=4-y．过点B作BH⊥PN于点H则有△AFB∽△BHP∴PHBHBFAF，即3412yx，∴521xy，xxxyS5212)42(x，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y随x的增大而增大，对于42x来说，当x=4时，12454212最大S．【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例3]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH．(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1)四边形EFGH是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG．∴△CEF是等腰直角三角形因此四边形EFGH是正方形．(2)设CE=x,则BE=0.4－x，每块地砖的费用为y元那么：y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+[0.16-x-×0.4×(0.4-x)×10])24.02.0(102xx3.2)1.0(102x)4.00(x当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1．答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省．例4．如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=xcm，CQ=ycm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式．ABCDPQ解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°.∴△ABP∽△PCQ.,86,yxxCQBPPCAB∴xxy34612．题型二利润最大化与二次函数1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？（2008年贵阳市）分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，现在增加x元，折合10x个10元，所以，有10x个房间空闲；空房间数+入住房间数=60，这样第一问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式是：y=60-10x，（2）宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式是：z=（200+x）（60-10x），（3）宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式是：W=（200+x）（60-10x）-20（60-10x），整理，得：W=-2101x+42x+10800=-101（x2-420x）+10800=-101（x-210）2+15210，因为，a=-101＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=210时，函数W有最大值，最大值为15210，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，最大值是15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？分析：根据图像和题意知道y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1，2)，这样就可以求出正比例函数的解析式；仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax2的形式。解：（1）因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx，因为，图像经过点P(1，2)，所以，2=k，所以，利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，x＞0；因为，y2是x的二次函数，设，y2==ax2，因为，图像经过点Q(2，2)，所以，2=4a，所以，a=21，所以，利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=21x2，x＞0；（2）这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，他获得的利润是：y=y1+y2=21x2+2×（8-x）=21x2-2x+16=21（x-2）2+14，因为，a=21＞0，所以，函数有最小值，并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为14万元；因为，对称轴是x=2，当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，所以，当x=0时，y有最大值，且为y=21（x-2）2+14=16，当2＜x≤8时，y随x的增大而增大，当x=8时，y有最大值，且为y=21（x-2）2+14=32，所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为32万元。因此，这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。3、存放问题例3、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）（08凉山州）分析：因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，所以，x天就应该上涨x×1=x元；市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，这样第一问就解决了；销售总额为P元应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。解：（1）由题意得y与x之间的函数关系式是：30yx（1160x≤≤，且x整数）；（2）由题意得P与x之间的函数关系式是：2(30)(10003)391030000Pxxxx；（3）由题意得：2(391030000)301000310Wxxx23(100)30000x因为，a=-3＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=100时，函数W有最大值，最大值为30000，所以，当100时，30000W最大，因为，100天＜160天，所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．4、定价问题例4、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神,最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?（2008恩施自治州）分析：利润=价格×销售数量，这是问题解答的关键。解:⑴y＝(x－20)∙w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600，所以，y与x的函数关系式为：y＝－2x2＋120x－1600．⑵因为，y＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200，因为，a=-2＜0，所以，函数有最大值，并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为200，所以，当x＝30时，y有最大值200．因此，当销售价定为30元/千克时,每天可获最大销售利润200元.⑶当y＝150时，可得方程－2(x－30)2＋200＝150．解这个方程，得x1＝25，x2＝35．根据题意，x2＝35不合题意,应舍去．所以，当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．5、补贴问题例5、某市种植某种绿色蔬菜