二次函数知识点2014姚1讲

1xO二次函数图像与性质〖知识要点〗1.二次函数定义一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。定义域是全体实数，图像是抛物线。2yaxbxc是二次函数的“一般式”。特点：①自变量x最高次数是2，②a≠0③整式2.二次函数的基本形式：2yax（0a）的图像性质：a越大抛物线的开口越小函数图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值2yax0a2yax0a〖典型例题〗考点一：二次函数定义例1.（1）圆的半径是xcm，圆的面积为ycm²，写出y与x之间的函数关系式；（2）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系式例2.（1）下列函数中，是二次函数的是.①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y=222(2)2xx；⑧y=－5x.2(2)若y=（m＋1）x562mm是二次函数，则m=（）A．7B．—1C．－1或7D．以上都不对(3)函数)1(432xy的自变量x的取值范围是；(4)已知二次函数3)12()1(2xmxmy，当x=1时，y=3，则其表达式为；（5）已知二次函数8-10-2xxy，当x=________________时,函数值y为1.考点二：2yax（0a）的图像性质例3.作二次函数2x2y的图像1.列表x-3-2-101232x2y2.在直角坐标系中描点连线观察图象,你发现了:解析式2x2y图形形状开口方向对称轴位置顶点坐标增减性最值例4.（1）函数y=-x2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______,顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值。函数y=x2的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.（2）．关于，，y=-3x2的图像，开口最大的是．213yx2yx3例5已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.例6已知二次函数mmm2xy（1）当m取何值时它的图象开口向上。（2）当x取何值时y随x的增大而增大。例7.直线y=2x+3与抛物线y=ax2交于A、B两点,已知点A的横坐标是3,求A、B两点坐标及抛物线的函数关系式.〖考点训练〗1、已知抛物线y=ax2经过点A（-3，9），那么a=,它的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，它的图象有最点，当y=6时，x=.2、二次函数y=-x2的图象(-3≤x≤-1),当x=时，其最大值是；当x=,其最小值是3、已知抛物线y=x2与直线y=kx-2的一个交点为（-2，a）,则k=，a=，另一个交点坐标为.4、同一坐标系中，函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2是函数y=x2的图象绕旋转得到．5、若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，a2），则函数表达式为．6、已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？7、若对于任何实数X，二次函数y=（2m-4）x2的值总是非负数，则m的范围是__________________8、下列说法错误的是（）A.二次函数y=x²，当x＞0时，y随x的增大而增大B.二次函数y=-x²，当x=0时，y有最大值，最大值为0C.函数y=ax²（a≠0）中a越大，图像开口越小D.不论a是正数还是负数，抛物线y=ax²（a≠0）的顶点一定是坐标原点。9、直线y=ax与抛物线y=ax2（a≠0）（）A.只相交于一点（1，a）B.只相交于一点（0，0）C.没有交点D.相交于两点（1，a），（0，0）4二次函数的顶点式及平移法则〖知识要点〗1.平移：二次函数图像的平移规律（h0,k0）y=ax²（a≠0）的图像顶点（0,0）我们把khxay2)(叫做二次函数的顶点式。顶点坐标为kh，。5．抛物线上点的对称性：设A（xy11，）、B（xy22，）是抛物线上的两点，且xxyy1212，，则抛物线的对向上移动k个单位向右移动h个单位y=ax²+k的图像顶点（0，k）y=a(x-h)²的图像顶点（h，0）y=a(x-h)²+k的图像顶点（h，k）5称轴为直线xxx122。〖典型例题〗考点一：平移例1.（1）二次函数y=3x2-1图像可以由y=3x2的图象向平移单位得到。（2）函数22xy的图象，向右平移3个单位，可以得到函数________________的图象；（3）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为______．例2.要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移()A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位例3.将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．考点二：二次函数顶点式khxay2)(性质例1.填表解析式开口方向顶点坐标对称轴y＝(x－2)2－3y＝－(x＋3)2＋2y＝3(x－2)2y＝－3x2＋2例题2、（☆☆）已知，抛物线2(3)4yx。（1）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）抛物线与y轴的交点坐标。例题3、（☆☆）已知，抛物线2()yaxhk的顶点坐标是（2，2），且抛物线经过点（0，1）。①求ahk、、的值；231xy5)5(212xy1)25(312xy6②画出该函数的图象；②根据函数图象回答，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的减小而减小？考点三：抛物线上点的对称性：例1．若抛物线y＝a(x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为_________．〖考点训练〗1．抛物线y=－－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x＿＿＿时，y随x的增大而增大，x＿＿＿时，y随x的增大而减小。2．抛物线的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（1，3）C．（1，3）D．（1，3）3.若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_______4.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（）5.函数y=ax2+a与y=（a≠0)在同一坐标系中的大致图象是（）6．抛物线有最______点，其坐标是______．当x＝______时，y的最______值是______；当x______时，y随x增大而增大．7．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为()A．y＝－2(x－1)2＋3B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3D．y＝－(2x－1)2＋38．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同的解析式为（）A．y＝12(x－2)2＋3B．y＝12(x＋2)2－3C．y＝12(x＋2)2＋3D．y＝－12(x＋2)2＋39．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．21(2)2x22(1)3yx1)3(212xyxa710．抛物线y=－b＋3的对称轴是＿＿＿，顶点是＿＿＿。11.已知函数9232xy。（1）确定此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；．（2）当x=时，抛物线有最值，是。（3）当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标；．（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标；．（6）该函数图象可由23xy的图象经过怎样的平移得到的？．12．将抛物线212yx向左平移3个单位，再向上平移2个单位。（1）写出平移后的函数解析式；（2）若平移后的抛物线的顶点是A，与x轴的两个交点分别为B、C，求△ABC的周长。2x