二次根式中考真题及详解

1二次根式知识梳理知识点1．二次根式重点：掌握二次根式的概念难点：二次根式有意义的条件式子a（a≥0）叫做二次根式．例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．解题思路：运用二次根式的概念，式子a（a≥0）叫做二次根式．答案：1）、3）、4）、5）、7）例2若式子13x有意义，则x的取值范围是_______．[来源:学*科*网Z*X*X*K]解题思路：运用二次根式的概念，式子a（a≥0）注意被开方数的范围，同时注意分母不能为0答案：3x例3若y=5x+x5+2009，则x+y=解题思路：式子a（a≥0），50,50xx5x，y=2009，则x+y=2014练习1使代数式43xx有意义的x的取值范围是（）A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠422、若11xx2()xy，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3答案：1.D2.C知识点2．最简二次根式重点：掌握最简二次根式的条件[来源:学.科.网]难点：正确分清是否为最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．例1.在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件，答案：C练习．下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A．7B．3C．12D．2答案：C知识点3．同类二次根式重点：掌握同类二次根式的概念难点：正确分清是否为同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．例在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）3A．3和18B．3和13C．22.11ababDaa和和解题思路：∵18=32，∴3与18不是同类二次根式，A错．[来源:学科网]13=33，∴3与13是同类二次根，∴B正确．∵22||,abbaab=│a│b，∴C错，而显然，D错，∴选B．练习已知最简二次根式322babba和是同类二次根式，则a=______，b=_______．答案：a=0，b=2知识点4．二次根式的性质重点：掌握二次根式的性质难点：理解和熟练运用二次根式的性质①（a）2=a（a≥0）；0(0)aa②2a=│a│=(0)0(0)(0)aaaaa；例1、若22340abc，则cba．4oba解题思路：2|2|0,30,(4)0abc，非负数之和为0，则它们分别都为0，则2,3,4abc，cba3[来源:Zxxk.Com]例2、化简：21(3)aa的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4解题思路：由条件则30,3aa，运用（a）2=a（a≥0）则2(3)3aa答案：C例3．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a解题思路：运用2a=│a│=(0)0(0)(0)aaaaa；由数轴则0ab，0ab，则原式=abab=－2b选A练习1.已知a0，那么│2a－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a2.如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简222()abab．1-1baO3.若yx324=0，则2xy=。答案：1.C2.－2b3.35知识点5．分母有理化及有理化因式重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念难点：熟练进行分母有理化，求有理化因式把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．例观察下列分母有理化的计算：11121,32,43213243，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：111()(20081)213220082007=_____________解题思路：(213220082007)(20081)(20081)(20081)2007练习．化简132，甲，乙两位同学的解法如下132:32.32(32)(32)132(32)(32):32323232甲乙对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（）A．甲，乙的解法都正确B．甲正确，乙不正确C．甲，乙都不正确D．甲不正确，乙正确答案：A6知识点6．二次根式的运算重点：掌握二次根式的运算法则难点：熟练进行二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．例1已知ab0，a+b=6ab，则abab的值为（）A．22B．2C．2D．12解题思路：∵ab0，∴（a+b）2=a+b+2ab=8ab，（a－b）2=a+b－2ab=4ab∴22()412,22()8abababababab，故选A．例2先化简，再求值：711()babbaab，其中a=512，b=512．解题思路：原式＝22()()()()abaabbababababababab当a=512，b=512时，原式＝5．例3计算：101(32)4cos30|12|3°．解题思路：：101(32)4cos30|12|3°．[来源:学,科,网][来源:Zxxk.Com]3134122423234练习1．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0，则32xyyx的值为________2.计算：121+3（3－6）+8。3.计算：（318+151504)322。答案：1．3+222.43.2最新考题中考要求及命题趋势81、掌握二次根式的有关知识，包括概念，性质、运算等；2、熟练地进行二次根式的运算2010年中考二次根式的有关知识及二次根式的运算仍然会以填空、选择和解答题的形式出现，二次根式的概念，性质将是今后中考的一个热点。应试对策掌握二次根式的有关知识，包括概念，性质、运算，在运算过程中注意运算顺序，掌握运算规律，注重二次根式性质的理解和运用。[来源:Z§xx§k.Com]考查目标一、理解二次根式的概念和性质例1.(2009年梅州市)如果，则=_______.解题思路：根据二次根式的概念，在a中，必须是非负数，即≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得≥0且≥0.解：由题意得≥0且≥0，∴x=32，=2，∴=5.例2.（2009龙岩）已知数a，b，若2()ab=b－a，则()A.abB.abC.a≥bD.a≤b解题思路：此题是二次根式2a的性质的应用，根据其性质，即是指|a－b|=b－a，根据绝对值的意义，可得a－b≤0，所以有a≤b，故选D.例3.当aabb成立时，的取值范围是___________.解题思路：商的算术平方根的性质aabb成立的条件是≥0，＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆.解：由≥0和2－＞0得0≤＜2.例4.（2009年铁岭市）若互为相反数，则_______。9解题思路：互为相反数的特点，点评：绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。即：，。非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。即：；；；.考查目标二、二次根式的化简与计算例5.将根号外的a移到根号内，得()A.；B.－；C.－；D.解题思路：字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动.此题隐含了条件＜0，所以绝不可直接平方后移动.解：由已知得＜0，所以=－(－)=－=－.故选B.例6.计算：10解题思路：；考查目标三、在实数范围内分解因式例7.在实数范围内分解因式。（1）；（2）解题思路：（1）原式（2）原式考查目标四、比较数值例8.比较下列数值的大小。（1）；（2）解题思路：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决。解：（1）由，得（2）11由，得[来源:学科网]考查目标五、无理数大小比较例9.（2009贺州）的整数部分是_________，小数部分是________。解题思路：因为是无理数，即无限不循环小数，所以把分成整数部分a和小数部分b，其中a是小于且最靠近的整数，而，这样就可以从中先求出a，再求出b。解：，即，，即又是无限不循环小数。的整数部分是2，小数部分是。考查目标六、规律性问题例10.观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证：.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.12解题思路：这是一道规律探索题，探索某些特殊的二次根式，可以将根号外面的数直接移到根号内与被开方数相加.通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同，根号内的数的分母是根号外的数的平方与1的差.其验证过程也给我们提供了解题思路.解：（1）；验证略（2）(n≥2，且是整数).验证：.例11.已知，则a_________解题思路：把已知式的前三项分母有理化后，解出a。解：已知式化为，，点评：因之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求a了。进一步看到，若把2看成，则。13发展：已知，则a______。（答案：a）.[来源:学科网]14过关测试一、选择题：1.若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（）。A.m≥2B.m2C.m≤2D.m22.若=3，则x的取值范围是（）。A.x=0B.－1≤x≤2C.x≥2D.x≤－13.二次根式、、的大小关系是（）。A.B.C.D.4.下列式子中，正确的是（）。A.（－3）（+3）=2B.5÷×=5C.2×（=2－1D.（2－）（2+）2=－2－5.使等式成立的实数a的取值范围是（）。A.a≠3B.a≥，且a≠3C.a3D.a≥156.下列各组二次根式（a0）中，属于同类二次根式的是（）。A.C.7.当0x2时，化简2的结果是（）。A.8.甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：==；乙：=。其中，（）。A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确C.只有甲正确D.只有乙正确9．下列运算正确的是（）A．3273B．0(π3.14)1C．1122D．9310．8化简的结果是()Ａ．2Ｂ．22C．22D．2211．估计1832的运算结果应在16A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间12.若使二次根式2x在实数范围内有意义．．．，则x的取值范围是A．2xB．2xC．2xD．2x二、填空题：1.已知a、b在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是______。2若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________。[来源:学科网ZXXK]3.已知m是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m可取的值有_______。4.如果xy=，x－y=