二阶导数的应用

二、二阶导数的应用4.5函数极值的判定[定理4.6]如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f(x)，且f'(x0)＝0，f(x)≠0，那么⑴若f(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值⑵若f(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值例4.11求下列函数的极值⑴f(x)＝2x3－3x2⑵f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解：⑴f'(x)＝6x2－6x，f(x)＝12x－6令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0∵f(1)＝6＞0，f(0)＝－6＜0把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、f(0)＝0∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0例4.11求下列函数的极值⑵f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解:⑵f'(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，得驻点为x1＝，x2＝，又f(x)＝－sinx－cosx，把x1＝，x2＝代入原函数计算得f()＝、f()＝－。所以当x＝时，y极大＝，x＝时，y极小＝－[注意]如果f'(x0)＝0，f(x0)＝0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判定是否为函数的极值点。445440245cos45sin)45(024cos4sin)4(ff452245224544.6函数的凹凸性和拐点1.曲线的凹凸性设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。[定理4.7]设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。例4.13判定曲线y＝的凹凸性解：∵y＝∴f'(x)＝－，f(x)＝，无拐点但有间断点x＝0当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，当x＞0时，f(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。x1x121x31x例4.14判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性解：∵y'＝－sinx，y＝－cosx，令y＝0，得x1＝，x2＝∴当x∈(0,)时，f”(x)＜0，曲线在(0,)内为凸的，当x∈()时，f”(x)＞0，曲线在()内是凹的，当x∈(,2π)时，f”(x)＜0，曲线在(,2π)内为凸的。2232223,223,223232.曲线的拐点曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使f(x)＝0的点，但是使f(x)＝0的点不一定都是拐点。[求拐点的一般步骤]⑴求二阶导数f(x)；⑵求出f(x)＝0的全部实根；⑶对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的符号，如果x0两侧f(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点(x0,f(x0))不是曲线的拐点。例4.15求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点解：y'＝x2－4，y＝2x,令2x＝0，得x＝0当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，当x＞0时，y＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲线上的拐点。例4.16讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点解：∵f(x)＝12x2∴当x≠0时，f(x)＞0，而f(0)＝0因此曲线y＝x4－1在(－∞,＋∞)内都是凹的，点(0,－1)不是拐点。4.7函数图象的描绘利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准确地用描点法描绘函数的图象。一般步骤为：⑴确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函数图象和两坐标轴的交点；⑵计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极值点和增减区间；⑶计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹凸区间；⑷计算驻点、拐点处的函数值；⑸列表，描绘函数的图象。三、高阶导数的应用4.8用多项式近似表达函数──泰勒公式如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?[定理4.8]设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导数，那么其中Rn(x)＝(ξ在0与x之间)上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。)(!)0(!2)0()0(')0()()(2xRxnfxfxffxfnnn1)1()!1()(nnxnf当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。O(xn)称为皮亚诺余项。这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表示为：一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：)(!)0(!2)0()0(')0()()(2nnnxOxnfxfxffxfnnnxxOxxnxfxxxfxxxfxfxf)()(!)()(!2)())((')()(000)(2000004.9几个初等函数的泰勒公式例4.19求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝f(x)＝…＝f(n)(x)＝ex∴f(0)＝f'(0)＝f(0)＝…＝f(n)(0)＝1于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为：在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式)(!!212nnxxOnxxxe!1!2111ne例4.20求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝cosx，f(x)＝-sinx，f'(x)＝-cosxf(4)(x)＝sinx，…∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f(0)＝0，f'(x)＝－1f(4)(0)＝0，…f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：)()!12()1(!5!3sin212153nnnxOnxxxxx例4.21求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝-sinx，f(x)＝-cosx，f'(x)＝sinxf(4)(x)＝cosx，…∴f(0)＝1，f'(0)＝0，f(0)＝－1，f'(x)＝0f(4)(0)＝1，…f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：)()!2()1(!4!21cos12242nnnxOnxxxx例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式解：∵f'(x)＝，f(x)＝-，f'(x)＝，f(4)(x)＝-，…∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f(0)＝-1!，f'(x)＝2!f(4)(0)＝-3!，…f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)!于是，ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式为：x112)1(1x3)1(2x4)1(6x)(32)1ln(32nnxOnxxxxx4.10罗必塔法则1.不定式[定理4.9]如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且存在(或无穷大)，则)()(limxgxfax)(')('lim)()(limxgxfxgxfaxax00证明：根据柯西定理有∵ξ在x与a之间，∴当x→a时ξ→a∵，∴这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它们导数的商的极限。当x→∞时，上述定理也成立。)(')(')()()()(gfagxgafxf0)(limxfax0)(limxgax0)()(agaf)(')('lim)(')('lim)()()()(lim)()(lim0xgxfgfagxgafxfxgxfaxaxax例4.23求极限解：当x→0时原式是型的不定式，用罗必塔法则有例4.24求极限解：当x→1时原式是型的不定式，用罗必塔法则有20cos1limxxx0000212sinlimcos1lim020xxxxxx123lim2331xxxxxx23266lim12333lim123lim12212331xxxxxxxxxxxxx例4.25求极限解：当x→∞时原式是型的不定式，用罗必塔法则有xarctgxx12lim0011lim111lim12lim2222xxxxxarctgxxxx2.不定式[定理4.10]如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点a的某一邻域内(点a除外)，f'(x)、g'(x)均存在，g'(x)≠0且存在(或无穷大)，则当x→∞时，上述定理也成立。)()(limxgxfax)(')('lim)()(limxgxfxgxfaxax例4.26求解：当x→0+时原式是型的不定式，用罗必塔法则有例4.27证明当a＞0时，＝0证明：根据罗必塔法则这表明，无论是α一个多么小的正数，xα趋于＋∞的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。nxmxxsinlnsinlnlim01cossinlimsincossincoslimsincossincoslimsinlnsinlnlim0000mxnxnmmxnxnnxmxmnxnnxmxmmxnxmxxxxxxxxlnlim01lim1limlnlim1xxxxxxxx[作业]P.1981,2⑴⑵⑷,3⑴⑵⑶,4⑴⑵⑷P.2074，5复习题四1,2,7,8,13⑵⑶⑷⑹⑺⑻