二项式定理_学案

饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第1页共9页二项式定理一、知识与方法：1、二项式定理：011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb，其中组合数rnC叫第1r项的________；展开式共有_____项，其中第1r项1rnrrrnTCab(0,1,2,,)rn称为二项展开式的______，主要用于求指定的项。解题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？2、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，实质是__________；（2）增减性与最大值：当12nr时，二项式系数Crn的值逐渐增大，当12nr时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第____项）的二项式系数（2nnC）最大值。当n为奇数时，中间两项（第______和_______项）的二项式系数（1122nnnnCC）相等并同时取最大值。（3）二项式系数的和：01rnnnCCC___nnC；0213nnnnCCCC______。注意：此过程体现了“赋值法”，应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和、“奇数(偶次)项”系数和、以及“偶数(奇次)项”系数和。3、二项式定理的应用：主要有近似计算、证明整除性问题或确定余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。二、例题：例1、求371(2)xx的展开式中第三项及常数项。例2、已知9290129(13)xaaxaxax，求（1）0a；（2）2a；（3）0129||||aaaa。饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第2页共9页三、练习题：1、在52()2xx的展开式中x1的系数等于（）A、10B、10C、20D、202、若5)1(ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是（）A、2B、22C、34D、23、在1021xx展开式中，含x的负整数指数幂的项共有（）A、8项B、6项C、4项D、2项4、在261()xx的展开式中，3x的系数和常数项依次是（）A、20，20B、15，20C、20，15D、15，155、由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),xaxaxaxaxbxbxbxb定义映射12341234:(,,,)(,,,),faaaabbbb则f（4，3，2，1）等于（）A、(1，2，3，4)B、(0，3，4，0)C、（-1，0，2，-2）D、（0，-3，4，-1）6、对于二项式31()()nxnNx，四位同学作出了四种判断：①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是（）A、①③B、②③C、②④D、）①④7、若41313nnnCCC，则n的值为。8、设4821201212(1)(4)(3)(3)(3)xxaaxaxax，则2412aaa=________。9、在8312xx的展开式中的常数项是（）A、7B、7C、28D、2810、5(12)(2)xx的展开式中3x的项的系数是（）A、120B、120C、100D、10011、22nxx展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（）A、180B、90C、45D、360饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第3页共9页12、在220(1)x展开式中，如果第4r项和第2r项的二项式系数相等，则r，4rT。13、已知4433221022)1(xaxaxaxaaxx，则4321aaaa＝_____；1a____。14、若,6*),(1)1(2qpNnqxpxxxnn且那么n。15、821(12)xxx的展开式中常数项为（用数字作答）16、已知1()2nxx的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中系数最大的项。例1（2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A.－45iB.45iC.－45D.45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第4页共9页设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。2.求有理项例2已知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。故展开式中所有的有理项为3.求幂指数为整数的项例3（2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第5页共9页A.3项B.4项C.5项D.6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。4.求系数最大的项例4已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第6页共9页有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。例5（2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6（2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A.74B.121C.－74D.－121解：的展开式中，含的项为，故选D。三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。例7（2006年北京卷）在的展开式中，的系数是_________。（用数字作答）饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第7页共9页解：令，得r=1所以的系数为。四、求展开式中的系数和在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。例8（2004年天津卷）若，则=______________（用数字作答）。解：取x=0，得取x=1，得故=2003+1=2004五、近似计算、证明整除及求余数问题近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。用二项式定理证明整除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，“消去法”，结合整除的有关知识来解决。饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第8页共9页例9（2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元解：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A=故选C例10（1992年三南高考题）除以100的余数是___________。解：＋92×90＋1（M为整数）=100M＋82×100＋81。所以除以100的余数是81。六、考查与其它知识交汇型问题在知识点的交汇处命题，已成为新高考命题的一个趋势。二项定理可以与组合、数列极限、杨辉三角等知识进行综合，而设计出新题。例11（2006年安徽卷）设常数a0，展开式中的系数为，则=___________________。饶平二中10年高考数学第一轮复习资料2010-2第9页共9页解：由，得r=2又所以