二项式系数的性质导学案

课题二项式系数的性质导学案自主预习案一、预习目标：了解“杨辉三角”，认识“杨辉三角”中行、列数字的特点及其组合数的性质、二项式系数之间的联系。二、预习内容：阅读P.26-27内容，了解二项式系数表及杨辉三角，探索归纳出二项式系数的性质。导入新课1．二项式定理及其特例：（1）nba)(（2）nx)1(2．二项展开式的通项公式：1kT新课探究1奎屯王新敞新疆二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，如下表所示：1()ab……………………112()ab…………………1213()ab………………13314()ab……………146415()ab…………151010516()ab………1615201561………………………………图1图2上表叫表，表中每行两端都是，除1以外的每一个数都等于早在1621年，我国南宋数学家杨辉的著作《详解九章算法》中就有类似的表（如上图2），这个表称为。利用这一性质，可根据相应于n的各项二项式系数写出相应于1n的各项二项式系数。()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。奎屯王新敞新疆2．二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0nC，1nC，2nC，…，nnC．rnC可以看成-2-以r为自变量的函数()fr定义域是{0,1,2,,}n，例当6n时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）、每一行两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即0111,1,nmmmnnnnnCCCCC，这实际上是由组合数的性质得到的（2）、对称性．，在二项展开式的每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即：01122,,,,nnnrnrnnnnnnnnCCCCCCCC，这个性质实际上也是由组合数的性质得到的。直线2nr是图象的对称轴．（3）、增减性与最大值．二项式系数先增大，到达某一值后又逐渐减小，并且二项式系数最大的项必在位置上，也就是说，二项式系数先从1开始递增，达到中间位置取最大值，然后又逐渐递减到1.当n是偶数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间一项，即项的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，展开式共有（n+1）项，所以展开式的中间两项，即第项，和第项的二项式系数相等且最大，最大值为12nnC=12nnC。（4）、二项展开式中各项系数的和等于，即0122rnnnnnnnCCCCC在01(1)nrrnnnnnnxCCxCxCx中，令1x，则有012(11)2nrnnnnnnnCCCCC奎屯王新敞新疆探究展示案一、学习目标：结合杨辉三角掌握二项式系数的概念和性质，并能利用这些性质计算和证明一些与二项式展开有关的简单问题。二、合作学习例1：（自主学习）根据“杨辉三角”写出：（1）8)(ba的二项式系数；（2）105ba展开式中的第3项的系数.例2：（小组合作）写出11()xy的展开式中：（1）通项1rT；（2）二项式系数最大的项；（3）各项的系数绝对值最大的项；(4)各项的系数最大的项；（5）各项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和。-3-例3：运用二项式定理证明：（1）012rnnnnnnCCCC；（2）02413512nnnnnnnCCCCCC（3）结论（1）、（2）分别表示什么意思？点评：012rnnnnnnCCCC和02413512nnnnnnnCCCCCC是两个重要的结论，大家要熟练掌握。例4：利用赋值法求证：0)1(3210nnnnnnnCCCCC.合作提高1.已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（３）0246aaaa；（４）017||||||aaa2.设1(5)nxx的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的系数为（）A、-150B、150C、300D、-3003.已知1021001210(2)xaaxaxax，则8a等于（）A、180B、180C、45D、454.在(12)nx的展开式中，各项系数的和是.5.已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项-4-6证明：18n能被7整除。7今天是星期一，则过2102天后是星期几？课堂小结：1．性质1是组合数公式rnrnnCC的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法。二、当堂检测(3)nxx的展开式中各项系数之和为６４，则展开式的常数项为（）A、540B、162C、162D、540２.设8280128(1)xaaxaxax，则018,,,aaa中奇数的个数为（）A、２B、３C、４D、５３.6(12)x展开式中，所有项的系数之和为；36(1)(12)xx展开式中5x的系数为.４.在10)32(yx的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.