互为反函数的函数图像之间的关系及应用

互为反函数的函数图像之间的关系及应用1.叙述反函数的定义：一般地，函数y=f(x)(xA)中,设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出来得到x=(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=(y)在A中都有唯一的值和它对应，那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数，这样的函数x=(y),(yC)叫做函数y=f(x),(xA)的反函数，记作x=f1(y)字母x、y互换，得y=f-1(x)y+1例如：函数x=是函数y=3x-1的反函数。3一、复习提问：求反函数的基本步骤：⑴.由y=f(x)出发，用y表示x,解出x=f1(y);⑵.将x，y互换得到y=f1(x);⑶.指出反函数的定义域（即原函数的值域).反解互换写出定义域2、求反函数有哪些基本步骤？解：函数y=2x2-3(x∈R)没有反函数；因为它不是由一一映射构成的函数；当把定义域改写为[0,+∞)或(-∞,0]时它才有反函数.4、函数y=2x2-3(x∈R)有没有反函数？为什么？如何改写定义域才能使其有反函数？3、点P(a,b)关于直线y=x对称的对称点P′的坐标为.（b,a）（即横坐标与纵坐标对换位置）例1、求函数y=3x-2(x∈R)的反函数，并且画出原来的函数和它的反函数的图象。解：∵y=3x-2函数y=3x-2(x∈R)的反函数为y=32xx0y-2032x-20y0∴x=32y321-2-11-1-2xyy=3x-232xyxy二、讲授新课首先我们来研究互为反函数的函数图像间的关系（x∈R)互为反函数的两个函数的图象之间是否具有某种对称关系?它们的两个函数图象是以直线y=x为对称轴的对称图形。给出定理：函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称。问题：回答：注：1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（x轴）与纵轴（y轴）长度单位一致的情况下得出的。3）函数y=f(x)与函数y=f－1(x)互为反函数，图像关于直线y=x对称；函数y=f(x)与函数x=f－1(y)互为反函数，图像相同。4）如果两个函数的图象关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-232)(1xxfyxy32)(1yyfx函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称例2、求函数y=x3(x∈R)的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象.xy3xyxy由函数(xR)，得所以函数(xR)的反函数是：)(3Rxxy3xy3yx3xy解：3xy注：当已知函数y=f（x）的图象时，利用所学定理，作出它关于直线y=x对称的图象，就是反函数y=f－1（x）的图象。练习1：画出函数y=x2(x∈[0,+∞))的图象，再利用对称性画出它的反函数的图象.……9410y3210x……3210y9410xxyxyxy2xy例3、若点P（1，2）在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。baxy解：由题意知，P（1，2）在函数的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数的图象上。因此，得baxybaxybaba212解得，a=－3，b=7然后我们利用互为反函数的函数图像间的关系来解决相应问题例4、求证：函数的图象关于直线y=x对称.)(x1xx1y证明：1xxy∴yx-y=x(y-1)x=y1yyx∴函数1)(x1xxy1)(x1xxy1)(x1xxy的反函数为即：函数的反函数是该函数自身∴函数的图象关于直线y=x对称1)(x1xxy1－1－1Oxy1xy注：如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y=x对称；反之，如果一个函数的图象关于y=x对称，那么这个函数的反函数就是它本身。例5、已知函数f(x)=1）求f(x)的反函数；2）若这个函数图象关于y=x对称，求a值。)31,(13aaxaxxaxxy13)1由13xayyx31yayxaxaaxy31)(3又axa313≠3)3(31)(1xxaxxf2）由题函数图象关于y=x对称可知f（x）的反函数是它本身即f（x）=f-1（x）3113xaxaxx∴a=－3解：练习2：如果y=f（x）的图象过点（1，2），那么y=f-1(x)–1的图象过点__________分析：由y=f（x）的图象过点（1，2），知y=f-1(x)的图像过点（2，1），而y=f-1(x)–1的图像是由y=f-1(x)的图像向下平移1个单位得到的，故y=f-1(x)–1的图象过点（2,0)(2,0)练习3：如果一次函数y=ax+2与y=3x-b的图象关于直线y=x对称，求a,b的值解：据题意，y=ax+2与y=3x-b互为反函数，y=3x-b的反函数为：),(3Rxbxy,32bxax比较系数得：6,31ba练习4：已知函数的图像经过点（1，3），且它的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），求f(x).baxfx)(解：∵f(x)的图像过点（1，3）∴a+b=3①由f(x)的反函数f-1(x)的图像过点（2，0），可知f(x)的图像过点（0，2）∴1+b=2②由②得b=1,将b=1代入①中得a=212)(xxf解法一：由得反函数由令x=0得∴m=-1解法二：令x=0则(0,)在f(x)的图象上由已知f(x)的反函数是自身∴(,0)在f(x)的图象上，-5=0∴m=-1m5练习5：已知函数的图象关于直线y=x对称，求m的值.mxxxf25)(mxxxf25)(125xmxy12525xmxmxx55mm5m5m5三、课堂小结1、函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f－1(x)的图象关于直线y=x对称。2、函数y=f(x)与函数y=f-1(x)互为反函数，图像关于直线y=x对称；函数y=f(x)与函数x=f-1(y)为互为反函数，图像相同。函数y=f-1(x)与函数x=f-1(y)是同一函数，图像关于直线y=x对称4、如果两个函数的图象关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数；5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的图象关于y=x对称；反之，如果一个函数的图象关于y=x对称，那么这个函数的反函数就是它本身。3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象四、布置作业：课本：习题2.43,4,5