五奥第十一十二讲行程问题(高江)

第十一讲行程综合（一）知识概述1.相遇问题是指两个人或车辆（物体……）各按着一定的速度从两地同时出发，沿着同一条道路相向而行（有时相背而行也可看做相遇问题），并由各种条件的变化而产生的一类应用题。基本数量关系式是：速度和×相遇时间=相遇路程相遇路程÷相遇时间=速度和相遇路程÷速度和=相遇时间2.两个人或车辆同时从两地同向行驶，后面快的人或车辆经过一段时间，赶上前面行的慢的人或车，由此问题不断衍生，而形成一类应用题，我们把它称之为“追及问题”。基本数量关系：追及路程=速度差×追及时间追及时间=追及路程÷速度差速度差=追及路程÷追及时间3.由基本相遇所衍生出的环形相遇、多人多次相遇、猎狗追兔等特殊行程问题。精选例题故事导入：师：我们在体育课的时候是不是经常做接力赛的游戏？生：对！师：那有没有哪一位同学可以帮助大家回忆一下接力比赛的具体经过呢？生：是一名同学拿着接力棒交给另外一名同学之后，这名同学才开始跑。师：对！但是如果我们把情况改一下，假如，这里没有接力棒，一开始，两名同学相对跑，这里就出现了我们今天要讲的课程，相遇问题；同学们在课间喜欢追追打打，总是跑得快的一名同学追上跑得慢的同学，这里又出现了我们今天要讲的第二个内容追击问题。生：嗯！师：那么首先进入我们的第一个题目，联系我们刚刚才说的接力比赛的情况，来分析一下这种类型的问题到底有什么样奥妙！例1：（1）甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米？【分析与解】甲车每小时比乙车每小时多行的距离=60-55=5（千米）相遇时甲乙用时=455=9（小时）两地距离=(60+55)*9=1035（千米）师：通过这个题目，有没有哪一位同学能够帮我们大家总结一下？生：这个题目的关键是在于相对行驶是相遇问题，甲和乙花的时间是相同的。师：对，这点很关键。那然后呢？生：所以总共的路程等于两者速度和与时间的乘积。师：很好！生：甲每小时多比乙行驶5千米，总共多行了45千米，所以可以得到甲乙相遇总共花了多少的时间，又知道了他们的速度和，就可以求出两地之间的距离了。师：非常好！希望大家都像这位同学一样，善于总结！师：上面这题的关键是在于找到他们相遇所花的时间，这是相遇问题的一个核心。那么带着这样的问题，我们来看下下面的这个题目，是不是可以找到相同的地方？（2）一辆客车和一辆货车，同时从东、西两地相向而行，客车每小时行56千米，货车每小时行48千米，两车在离中点32千米的地方相遇，求东、西两地的距离是多少千米？【分析与解】客车每小时比货车每小时多行的距离=56-48=8（千米）客车相遇时比货车多行的距离=32*2=64(千米)相遇时甲乙用时=648=8（小时）东西两地相距=(48+32)*8=640（千米）生：对！师：通过前面两个题目，我们能够找到解决这类问题的关键在于，知道了相遇者的速度和相遇所需要的时间，我们就可以求出整个距离，而这两个问题关键是围绕在相遇的时间是如何求出的。师：我们再来看看下面的题目，例2和例1的两个题目有什么不同。例2：A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折返向甲车飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去。燕子飞了多少千米两车才能相遇？【分析与解】甲乙相遇的用时即燕子飞行的用时=480(35+45)=6（小时）燕子飞行距离=50*6=300（千米）师：有没有谁能够告诉我这个题目的突破口在哪里？生：时间！师：对！具体时间是怎么样?生：不管甲，乙或者是燕子，他们都是同时出发，同时相遇，他们所经历的时间是相同的，也就是说只要能够求出他们相遇的时间，又已知燕子的飞行速度，就可以求出燕子的飞行路程了。师：非常好！那我们怎么求相遇的时间呢？生：燕子飞行的时间就是甲乙相遇的时间！师：嗯是的！找到了这个关键点，这道题目也迎刃而解了！那我们来看下面这个题目。例3：甲乙两车同时从A、B两地相向开出，第一次在离A地85千米处相遇，相遇后两车继续前进，到站后立即返回；第二次在离B地65千米处相遇，算一算AB两地间的路程和甲车行的路程。【分析与解】设全程为x千米。第一次相遇甲行85千米，乙行)85(x千米；第二次相遇甲行)65(x千米，乙行)652(x千米；依题意可得方程：652658585xxx解得：x190所以甲的车程25565190（千米）师：总结这个题目我们用的是方程来解决。列方程的关键是找等量关系，而这里的等量关系是，有没有哪一名同学能够告诉我？生：是在相同的时间里甲乙的速度比就是他们的路程比！师：对！例4：甲乙两人骑自行车，甲每小时行13千米，乙每小时行11千米，如果甲乙分别从A、B两地同时出发，相向而行，则0.5小时相遇；如果同向而行，则甲追上乙需要多少时间？【分析与解】甲乙相距=125.0)1113(（千米）甲追上乙的时间=6)1113(12（小时）总结：这题的关键是在于，弄清楚相遇和追击之间的关系。例5：有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米?【分析与解】丙乙甲：：vvv100：80：75=20：16：15甲乙相遇时，甲走全程的25份，乙走16份，丙走了15份；即甲丙相距1份，走了6分钟。可得这一份的路程=10506)75100(（千米）所以东西两村之间的距=37800)1620(1050（千米）师：这题中我们利用了份数的关系。生：对！师：因为在相同的时间，路程的比就等于各自速度的比。生：对！师：所以我们可以通过各自的速度，找出他们的路程比例关系。然后在根据份数，求出每一份的关系，然后再按照整个份数来求出整个全程。例6：张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时达到乙地。那么赵追上李的时间是几时?【分析与解】张全程花时间为1266（小时）全程距离为60125（千米）赵全程花时间为1064（小时）赵的速度为61060（千米每时）赵追上李花时间为4)46()24(（小时）具体时间点为1284···即中午12点师：这题不难，但是同样我们还是要非常地小心谨慎。生：根据相遇和追击关系来求出题目的问题。师：嗯，这个是把相遇和追击之间的问题糅合在了一起，并且变成了三个人之间的关系，所以我们在读题目的时候一定要细心。仔细分析题目的要求，和已知量之间的关系。例7：如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米。求这个圆的周长。【分析与解】设半圆长为x米，第一次小张走了80米，小王走了)80(x米；第二次小张走了)60(x米，小王走了)602(x米。依题意：602608080xxx；解得180x，所以圆周长为3602x米师：这一题我们发现好像和之前的一个题目有点像是么，有没有同学能够告诉我？生:对和例题3是一样的。师：那区别在于哪里呢？生：一个是直线上的追击和相遇问题，这里变成了在一个闭合的圆形中的追击和相遇问题。其他的都没有变。师：是的，所以我们可以同样总结为方程来解决。列方程的关键是找等量关系，而这里的等量关系是，有没有哪一名同学能够告诉我？生：是在相同的时间里甲乙的速度比就是他们的路程比！师：对！例8（1）一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子?【分析与解】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。用时20/(9-8.4)秒时间追上，即狗跑了9×100/3=300米（2）猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米?【分析与解】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒………………………（一次设数）再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离设兔子一步4米，狗一步9米………………………………………（二次设数）从而得出狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒进而狗兔相距26×9=234米，追及时间为234÷(45-32)=18（秒）兔子一秒跑8步，总共跑了9×18=144步狗一秒跑45米，总共跑了45×18=810米师：课后总结与归纳和教学目标是1.学会用方程和比例解决不同类型行程问题2.学会找行程问题中隐含的量然后来解决行程问题教学重点：把复杂的行程问题转化成基本的类型然后利用公式解决教学难点：行程问题中隐含量的寻找。A组训练题1、某快速反应部队运送救灾物资去某灾区，飞机原计划每分钟飞行9千米，现将速度提高到12千米，结果比原计划早到30分钟，机场到灾区相距多少千米？解：设机场到灾区相距x千米，依题意有：30912xx解得1080x2、有甲乙两位同学在相距520米的两地之间竞走，两人同时分别从两地相向出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走70米。两位同学第一次相遇后继续前进，走到对方出发的地点时，立即返回继续往回走，到第二次相遇时，走了多少分钟？解：两次相遇总共走的距离是3个全程为15603520（米）共走时间为12)7060(1560（分钟）3、甲乙两地相距47.5千米，哥哥由甲地出发走向乙地，每小时走6.5千米，2小时后，弟弟从乙地走向甲地，弟弟走3小时遇见哥哥，弟弟每小时走多少千米？解：55.63)25.65.47(（千米每时）4、甲乙两人同时从A地出发去B地，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，甲比乙早到1小时，甲乙两地相距多少千米？解：设甲乙两地相距x千米，依题意：11210xx，解得60xB组训练题5.甲、乙、丙三人步行的速度分别为每分钟100m，80m，70m。甲乙同在公路上A处，丙在公路上B处，三人同时出发，甲乙与丙相向而行，丙遇到甲2分钟后又遇到乙，A，B间的距离是多少米？解：丙乙甲：：vvv100：80：70=10：8：7甲丙相遇时甲行10份，丙行7份，此时乙行8份，乙丙之间相距2份，这两份的距离为1502)7080(（米）A,B间的距离为1190172150（米）6.甲、乙两车分别从东、西两站同时相对开出。第一次相遇时，甲车行了80千米，两车继续以原来速度前进，各车到站后立即返回，第二次相遇地点在第一次相遇地点东侧40千米处。东、西两站相距多少千米？解：设，东西两站相距x千米，第一次相遇甲行了80千米，乙行了)80(x千米；第二次相遇甲行了)402(x，乙行了)40(x千米；依题意得：404028080xxx，解得140x7．猎狗追赶前方50米处的野兔。猎狗跑4步的路程兔子要跑7步,但猎狗跑3步的时间兔子能跑5步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔?解：因为，狗3步每秒；兔子（5×4÷7）步每秒50÷(3-5×4÷7)=350(米)C组训练题8.甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需要4分钟，乙行走一圈需8分钟。他们同时同地同向出发，甲走完10圈后，改为反向行走，出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，两人都击掌示意。问：当两人第15次击掌时，甲共走了多少时间？乙走了多少路程？解：甲走完10圈，花了10×4=40分钟，此时乙走了40÷8=5圈；则甲开始反向行走时，甲比乙多走了10-5=5圈，此时，甲追上乙5次，且甲在乙前面30/7-4=2/7圈；接下来相反方向走,经过5÷(1/4+1/8