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年级下学期第11讲长、正方体的染色（例题）姓名：第1页共3页北京大学附属小学2014年5月27日五【知识导航】一个长方体或正方体的的表面染色，然后切成若干个小正方体。三面图色的立方体都在原来立体图形的顶点处；两个面涂色的都在原来立体图形的棱上，一个面涂色的都在原来立体图形的面上,中间的心是无色的。【典型例题】【例1】将一个7×7×7的正方体表面涂上红色，再将切割成343个1×1×1的小正方体，其中恰有一面涂色的小正方体有多少个？两面、三面和没有被涂色的呢？【分析】三面涂色在顶点处。两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，无色在里面。【答案】（150,60,8,125）【例2】一个3×3×3的正方体，如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6．6×6×6=216。【例3】如图，将边长为3的正方体的一个面、边长为5的正方体的一个面和边长为7的正方体一个面粘合在一起，使得较小的面恰好位于较大的面的一角。将新得到的立体图形的表面涂成红色，然后把它沿刚才的粘合面切开得到三个正方体，接着将这三个正方体都切成边长为1的小正方体，那么在全部3×3×3+5×5×5+7×7×7=495个小正方体中，恰好有两个面涂成红色的有多少个？（没有染色、一面染色、三面染色的各多少个呢？）【答案】（183，208，90，14）【例4】有一个n×n×n的大正方体，将它的六个面中的一些面涂上红色，再将它全部切割成1×1×1的小正方体，结果发现至少一面被涂上红色的小正方体有281块，问：这之中恰好只有一面涂色的小正方体共有多少块？【答案】（240）【例5】一个长方体木块表面涂满了红漆，把它切成棱长全为1厘米的小正方体后，各个面都没有漆的只有11块。求这个长方体的表面积。【答案】（174）年级下学期第11讲长、正方体的染色（例题）姓名：第2页共3页北京大学附属小学2014年5月27日五【例6】把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小长方体，其中恰好有两个面涂上红色的小长方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小长方体？【答案】（108）【例7】右图是一个5×5×5的正方体，将其表面全部涂上红色，再将其分割成1×1×1的小正方体，取出全部至少有一个面是红色的小正方体，组成表面全部是红色的长方体。求可组成的长方体的最大体积。【答案】96提示：长方体是4×4×6.【例8】有6个棱长分别是3cm，4cm，5cm，的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体六个面都是红色的，染色后把所有的长方体分割成棱长为1cm的小正方体，分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体最多有几个？【分析与解】AD＝BC=EH=FG=5cmAB＝CD＝EF＝GH＝4cmAE＝BF＝CG＝DH＝3cmi）一面染色，将ABCD染红，则有20个一面是红色的小立方体，而染其它面不能得到多于20个一面是红的小立方体。ii）二面染色，将ABCD和EFGH染红色的，则可得到40个一面为红色的小立方体，将其它二面染红色的，不能得到多于40个一面为红色的小立方体。iii）三面染色，将ABCD，EFGH和ABEF染红色，将得到36个一面为红色的小立方体。将其它三面染色，将不可能得到多于36个一面为红色的小立方体。iv）四面染色，将ABCD，EFGH，ABFE和CDHG染红色，将得到32个一面为红色的小立方体，这是最多的可能。v）五面染色，将ABCD、EFGH，ABFE、CDHG和CBFG染红色，将得到27个一面为红色的小立方体，这是最多的可能。vi）六面染色，可得22个一面染色的小立方体。22＋27＋32＋36＋40＋20=177年级下学期第11讲长、正方体的染色（例题）姓名：第3页共3页北京大学附属小学2014年5月27日五[答]最多可得到177个一面为红色的小立方体。【例9】某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在位置相同时，它们就被看作是同一种积木块。请你说明：最多能涂成多少种不同的积木块？【分析与解】我们先注意正方体上的两个面，或者处于相对的位置（如顶面和底面）或者处于相邻的位置（如顶面和一个侧面）。按题意，每种颜色各涂两个面，因此我们可以根据同一颜色的两个面所处的位置将所有积木块分成以下儿种不同的情形。（Ⅰ）同色的两个面均为相对面，即红红相对，黄黄相对，蓝蓝相对．这种情形只有一种。其理由是：首先可以将红色面放在顶面和底面的位置上，然后．可以将黄色面放在正面和背面的位置上，这样，左面和右面就只是蓝色面了。冈为所有这样的积木（同色面相对）都可以放成上面这种位置，所以只有1种。（Ⅱ）3种颜色中有两种颜色，其同色的两面为相对面。这时，第三种颜色的两个面也必然相对，因此这就是第一种情形。（Ⅲ）3种颜色中，只有1种领色的两个面为相111对面。这种情形共有3种不同的积木块。理由如下：首先不妨设红色的两个面为相对面。将这两个面置于顶面和底面，这样4个侧面就为黄色和蓝色，并且同1种颜色的两个面相邻。我们通过适当的转动，总可以将黄色面放在正面和右面，而蓝色面放在左面和背面，因此只有1种积木块。但是相对的面也可能黄色或蓝色，因此又各有1种积木块，显然这3种积木块是不相同的（因为任何转动都不能将相邻面变成相对面，也不能将相对面变成相邻面），所以共有3种不同的积木块。（Ⅳ）最后一种情形，每种颜色的两个面均为相邻面。这种情形有两种不同的积木块。这是比较困难的一种情形。首先我们可以看出积木块的3组相对面的颜色只能是（红、黄），（红、蓝），（黄、蓝）。为了使积木块固定不动。我们先通过适当转动使得顶面为红色，底面为黄色。然后再将侧面适当转动使得正面为红色，背面为蓝色，这样积木块就不能再动了。这时积木的左面和右面可以分别是黄色和蓝色，也可以是蓝色和黄色，这代表了两种不同的积木块．总结上述讨论，总共有6种不同的积木。