复变函数与积分变换课程教学大纲

1《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110096课程名称：复变函数与积分变换英文名称：FunctionofComplexVariableandIntegralTransforms课程类别：专业基础课学时：63学分：3适用对象:我院信息与计算科学专业考核方式：考试（平时成绩占总成绩的百分比30％）先修课程：高等数学二、课程简介中文简介本课程主要讨论复变函数和积分变换，内容主要包括：复数运算、解析函数、初等函数、复变函数的积分理论、级数展开及留数理论、共形映射、拉普拉斯变换、富里叶变换．通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论和方法，掌握傅里叶变换与拉普拉斯变换的基本概念与方法，为学习相关专业课及以后实际应用提供必要的基础。英文简介FunctionofComplexVariableandIntegralTransformsisarequiredcourseforundergraduatesininformationsciences,mechanicalandelectricalengineering,computerscienceandengineering,resourcesandenvironmentalsciencesandlightindustryandfoodscience.Bytakingthiscourse，studentsshouldgrasptheoverallknowledge，fundamentalprinciplesandusualmethodsinFunctionofComplexVariableandIntegralTransforms.Theyshouldalsogaintheabilityproblemsolving.Thiscauseincludesasfollow：ComplexNumbers；AnalyticFunctions；RepresentationofAnalyticFunctions；Cauchy’sTheoremandCauchy’sIntegralFormula；TheresidueTheory；ConformalMapping；TheLaplaceTransformandApplications；TheFourierTransformandApplications.三、课程性质与教学目的本课程为电子类、计算机类各专业及热能专业的基础课。要求学生掌握复分析及积分变换的方法。为适应诸多专业对复变函数理论的需求，学生必须熟练掌握：1．复变解析函数理论；2．复变函数的积分理论及留数理论；3．拉氏变换与富氏变换理论。学生还应掌握复变函数的一些基础理论，如调和函数理论，罗朗级数理论，共形映射理论。2四、教学内容及要求复变函数第一章复数与复变函数（一）目的与要求1．理解区域，简单（闭）曲线，单连通域与多连通域，复变函数与映射的概念；2．了解复球面，无穷远点，扩充复平面的概念；3．熟练掌握复数的各种表示法（代数表示，指数表示与三角表示），乘积与商的模与幅角定理，乘幂的棣莫佛公式，复数的方根，掌握复变函数的极限和连续性的运算法则与性质及其与实变函数极限和连续性间的关系，复数形式的代数方程与平面几何图形。（二）教学内容第一节复数及其代数运算1．主要内容复数及其代数运算。2．基本概念和知识点复数的概念，复数的运算（四则运算）。3．问题与应用（能力要求）熟练掌握复数的四则运算。第二节复数的几何表示1．主要内容复数的几何表示（代数表示，指数表示与三角表示），复数形式的代数方程与平面几何图形，复球面，无穷远点，扩充复平面。2．基本概念和知识点复数的各种表示法，复球面，无穷远点，扩充复平面的概念。3．问题与应用（能力要求）熟练掌握复数的各种表示法，掌握复数形式的代数方程与平面几何图形。第三节复数的乘幂与方根1．主要内容复数的乘幂与方根。2．基本概念和知识点复数的运算（四则运算）（DeMoivre公式）；复数的方根。4．问题与应用（能力要求）熟练掌握复数的四则运算及复数的乘幂与方根。3第四节区域1．主要内容区域。2．基本概念和知识点区域的概念；简单（闭）曲线，单连通域多连通域。3．问题与应用（能力要求）理解区域、简单（闭）曲线、单（多）连通域的概念。第五节复变函数1．主要内容复变函数的定义与映射的概念。2．基本概念和知识点复变函数的定义与映射的概念，复变函数与一元实函数的关系。3．问题与应用（能力要求）理解复变函数的定义与映射的概念。第六节复变函数的极限和连续性1．主要内容复变函数的极限和连续性。2．基本概念和知识点复变函数的极限和连续性的概念及其运算法则与性质，与实变函数极限和连续性间的关系。3．问题与应用（能力要求）掌握复变函数的极限和连续性的运算法则与性质。（三）课后练习第一章习题12),4)；2；46)；82),4),6)；10；123)；142),4)；15；212),4),6),8),9),10)；222),4),6),7),8),；23；252),4),6)；262),4)；27。（四）教学方法与手段启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。第二章解析函数（一）目的与要求1．理解导数与微分及解析函数的概念，指数函数、三角函数、双曲函数、对数函数、幂函数的定义及主要性质；2．了解反三角函数、反双曲函数；3．熟练掌握函数导数及解析的判别法。（二）教学内容4第一节解析函数的概念1．主要内容解析函数的概念。2．基本概念和知识点导数与微分及解析函数的概念。3．问题与应用（能力要求）理解导数与微分及解析函数的概念。第二节函数解析的充要条件1．主要内容函数解析的充要条件。2．基本概念和知识点函数解析的判别法。3．问题与应用（能力要求）熟练掌握函数导数及解析的判别法。第三节初等函数1．主要内容初等函数。2．基本概念和知识点各种初等函数的定义，多值函数。3．问题与应用（能力要求）理解初等函数的定义及主要性质。（三）课后练习第二章习题22),4)；32),4)；42)7；8；102),3),4)；122),3)；136)；142)；15；18；212)。（四）教学方法与手段启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。第三章复变函数的积分（一）目的与要求1．理解复积分的概念及性质，柯西—古萨基本定理，复不定积分与原函数的概念，牛顿—莱布尼茨公式，调和函数与解析函数的关系；2．熟练掌握复积分计算的一般方法，灵活运用复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式。（二）教学内容第一节复变函数积分的概念1．主要内容5复变函数积分的概念及性质。2．基本概念和知识点复变函数积分的概念及性质。3．问题与应用（能力要求）理解复变函数积分的概念及性质。第二节柯西—古萨基本定理1．主要内容柯西—古萨基本定理。2．基本概念和知识点柯西—古萨基本定理。3．问题与应用（能力要求）熟悉柯西—古萨基本定理。第三节基本定理的推广—复合闭路1．主要内容基本定理的推广—复合闭路。2．基本概念和知识点柯西积分定理。3．问题与应用（能力要求）灵活运用复合闭路定理。第四节原函数与不定积分1．主要内容原函数与不定积分。2．基本概念和知识点原函数与不定积分的概念，牛顿—莱布尼茨公式。3．问题与应用（能力要求）理解原函数与不定积分的概念，牛顿—莱布尼茨公式。第五节柯西积分公式1．主要内容柯西积分公式。2．基本概念和知识点柯西积分公式。3．问题与应用（能力要求）灵活运用柯西积分公式。第六节解析函数的高阶导数1．主要内容6解析函数的高阶导数。2．基本概念和知识点高阶导数公式。3．问题与应用（能力要求）熟练掌握高阶导数公式。第七节解析函数与调和函数的关系1．主要内容解析函数与调和函数的关系。2．基本概念和知识点调和函数的概念，解析函数与调和函数的关系。3．问题与应用（能力要求）理解调和函数与解析函数的关系。（三）课后练习第三章习题11),3)；2；5；62),4),6)；72),5),7)9),10)；82),4),6)；92),4),5)；66)；23；302)。（四）教学方法与手段启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。第四章级数（一）目的与要求1．理解复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，熟悉收敛的必要条件，阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质，泰勒展开定理，双边幂级数的概念与性质，洛朗展开定理；2．熟练掌握幂级数收敛半径的求法，熟悉,sin,cos,ln(1),(1)zezzzz的泰勒展开式，熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数，把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数。（二）教学内容第一节复数项级数1．主要内容复数项级数。2．基本概念和知识点复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，收敛的必要条件。3．问题与应用（能力要求）理解复数项级数收敛、发散、条件收敛与绝对收敛的概念与性质，熟悉收敛的必要条件。7第二节幂级数1．主要内容幂级数。2．基本概念和知识点阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质。3．问题与应用（能力要求）熟悉阿贝尔Abel定理，幂级数的运算与性质。第三节泰勒级数1．主要内容泰勒级数。2．基本概念和知识点泰勒展开定理。3．问题与应用（能力要求）熟悉,sin,cos,ln(1),(1)zezzzz的泰勒展开式，熟练地把一些解析函数展开成泰勒级数。第四节洛朗级数1．主要内容洛朗级数。2．基本概念和知识点双边幂级数的概念与性质，洛朗展开定理。3．问题与应用（能力要求）熟练地把一些解析函数在不同的圆环内展开成洛朗级数。（三）课后练习第四章习题12),4)；32),4)；5；62),4),6)；9；112),3),4),6),7)；122),4),6)；162),3),4),6)；192),4)。（四）教学方法与手段启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。第五章留数（一）目的与要求1．理解孤立奇点的概念，熟悉可去奇点、极点与本性奇点的特征，函数的零点与极点的关系，理解留数的概念，函数在无穷远点的性态，在无穷远点的留数及留数在定积分计算上的应用；2．熟练掌握留数的计算规则与求法，尤其是极点处的留数的计算。（二）教学内容第一节孤立奇点81．主要内容孤立奇点。2．基本概念和知识点孤立奇点的概念，可去奇点、极点与本性奇点的特征，函数的零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态。3．问题与应用（能力要求）理解孤立奇点的概念，熟悉可去奇点、极点与本性奇点的特征，理解函数的零点与极点的关系，函数在无穷远点的性态。第二节留数1．主要内容留数。2．基本概念和知识点留数的概念与计算规则。3．问题与应用（能力要求）理解留数的概念，函数在无穷远点的留数，熟练掌握留数的计算规则与求法。第三节留数在定积分计算上的应用1．主要内容留数在定积分计算上的应用。2．基本概念和知识点留数在计算三种类型实积分上的应用。3．问题与应用（能力要求）理解留数在定积分计算上的应用。（三）课后练习第五章习题12),3),4),5),6),8)；2；4；81),2),4),5),7)；91),2),3),5)；102),3)；121),3)；132),4),6)。（四）教学方法与手段启发式教学、习题课、课堂讨论及通过《工程数学》网站学习。第六章共形映射（一）目的与要求1．理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念；2．了解唯一决定分式线性映射的条件，函数(2)nwzn为自然数与zwe所构成的映射的性质；93．掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性，会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。（二）教学内容第一节共形映射的概念1．主要内容共形映射的概念。2．基本概念和知识点解析函数导数的几何意义及共形映射的概念。3．问题与应用（能力要求）理解解析函数导数的几何意义及共形映射的概念。第二节分式线性映射1．主要内容分式线性映射。2．基本概念和知识点分式线性映射的性质。3．问题与应用（能力要求）掌握分式线性映射的保圆性及保对称