交大有史以来微积分第一次月考试卷参考答案

第1页共8页北京交通大学2012-2013学年第二学期《微积分B》第一次月考试卷学院_____________专业___________________班级____________学号_______________姓名_____________题号一二三四五六七八九十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、选择题（每小题3分，满分15分）1．2sin01,,00xyyyxfxyy则函数在0,0点（A）．（A）连续（B）极限不存在（C）极限存在但不连续（D）无定义2．有且仅有一个间断点的函数是（B）．（A）yx（B）22lnxexy（C）xxy（D）arctanxy3．二元函数(,)fxy在点00,xy处两个偏导数''0000,,,xyfxyfxy存在是,fxy在该点连续的（D）．（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件第2页共8页4．设函数,zfxy,有222fy且',01,,0yfxfxx,则,fxy为（C）．（A）221xyy（B）221xyy（C）21xyy（D）21xyy5．记000000,,,,,xxxyyyAfxyBfxyCfxy,那么当,fxy的驻点00,xy满足（D）时,,fxy在该点取极大值．（A）20,0BACA（B）20,0BACA（C）20,0BACA（D）20,0BACA二、填空题（每小题3分，满分15分）1．若曲面:,,0Fxyz上000,,Qxyz点的法线经过曲面外一点,,Pabc,则000,,Qxyz点必须满足000'''.xyzaxbyczFFF2．函数2ln1uxyzxyz在1,1,1P处沿333,,333方向的方向导数最大,其最大值为3010．3．曲线221,44zxyy在点2,4,5处的切线与x轴的夹角为4．4．设2,,xfxyzeyz,其中,zzxy是由0xyzxyz确定的函数,则'0,1,1xf1．5．已知3222cos1sin3axyyxdxbyxxydy为某一函数,fxy的全微分,则a2,b-2.第3页共8页三、（9分）设2222221sin,0,,0,0xyxyxyfxyxy求证:(1)'',,,xyfxyfxy在0,0点不连续;(2),fxy在0,0点可微。证明:(1)当220xy时,2'3222222211,sincos,xxyfxyyxyxyxy而'0,00,00.xxdfxfdx沿着yx,3'311,sincos,22xxfxyxxxx它趋于0,0的极限不存在,所以',xfxy在0,0点不连续;由对称性,当220xy时,2'3222222211,sincos,yyxfxyxxyxyxy而'00,0,00.yydfyfdy',yfxy在0,0点也不连续;(2)221,0sin,fxyxyxy而22220001sin1limlimcossinsin0xryxyxyrrxy，所以,fxy在0,0点可微。第4页共8页四、（8分）1、设322,,,ufxyzxyz其中,zzxy为由方程33330xyzxyz所确定的函数，求.ux2、设1,zxuy求1,1,1.du1、解：2223232uzxyzxyzxx，由33330,xyzxyz得2233330zzxzyzxyxx，所以22,zyzxxzxy所以222232232.uyzxxyzxyzxzxy2.解：111112211;;ln;zzzuxuxxuxxxzyyyzyyzzyy所以1,1,11,1,11,1,11;1;0;uuuxyz于是1,1,1.dudxdy第5页共8页五、（9分）设,,xyzfxygyx其中f具有连续的二阶偏导数，g具有连续的二阶导数，求2zxy。解：'''1222'''111122212222223'''11221233221,11111.zyyffgxyxzxxyfyxfffxffggxyyyyyxxxyxyffgffgyxyx六、（8分）设,zzxy是由方程0zyxzyxxe所确定的二元函数，求.dz解：0zyxzyxzyxdzyxxedzdydxedxxedzdydx，所以1.1zyxzyxedzdxdyxe第6页共8页七、（9分）若,uxy的二阶偏导数存在且0u，证明：,uxyfxgy的充分必要条件是2.uuuuxyxy证明：必要性。若,uxyfxgy，则2'''',,,uuufxgyfxgyfxgyxyxy所以2.uuuuxyxy充分性。若2.uuuuxyxy则0.uuuxuyxy进而2ln0.uuuxuuuyxyxyxyuu所以ln,ln,.uxuxyufxgyx第7页共8页八、（9分）在椭球面222:21xyz上求一点，使在该点的切平面平行于平面:20.xyz解：上一点,,xyz处的法向量为2,4,2xyz，故所求点应满足242112xyz，代入曲面方程求得点为2222222,,.112211九、（9分）,0cxazcybz确定,zzxy，证明：zzabcxy，并说明,zzxy为柱面。证明：''120,zzcabxx所以'1''12.czxab''120,zzacbxx所以'2''12.czyab于是zzabcxy。,zzxy的法向量处处与,,abc垂直，故,zzxy为柱面。第8页共8页十、（9分）求曲线221zxyyx上到坐标面xOy距离最近的点。解：令2221,,,,Fxyzzxyzyx，解22220,20,20,0,10,FxxxFyyFzzFxyzFyx得点1,1,2,1,1,2。