交大附中2014版高考数学第一轮复习训练数列(word版含答案)

第1页共8页上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知的前n项和()A．67B．65C．6lD．56【答案】A2．在等差数列中，公差d=1,,则的值为()A．40B．45C．50D．55【答案】B3．在等比数列}{na中，11a，公比|q|≠1，若54321aaaaaam,则m=()A．9B．10C．11D．12【答案】C4．等差数列的前n项和为，若，则下列结论：①②③④其中正确结论是()A．②③B．①③C．①④D．②④【答案】A5．设Sn为数列na的前n项之和，若不等式22212nnsaan对任何等差数列na及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为()A．0B．15C．12D．1【答案】B6．已知{an}是等比数列，2512,4aa,则公比q=()A．21B．-2C．2D．21【答案】D7．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为()A．12nanB．121nannC．1211nannD．121nann【答案】C第2页共8页8．在等比数列na中，5,6144117aaaa，则1020aa()A．32B．23C．32或23D．－32或－23【答案】C9．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若1m，且211210,38mmmmaaaS，则m等于()A．38B．20C．10D．9【答案】C10．数列na中，11a，12,()2nnnaanNa，则5a()A．25B．13C．23D．12【答案】B11．如果na为递增数列，则na的通项公式可以为()A．23nanB．231nannC．12nnaD．21lognan【答案】D12．等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若8736SS，则nnSlim等于()A．21B．1C．-32D．不存在【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知{}na是公比为实数q的等比数列,若71a,且456,1,aaa成等差数列,则q____________.【答案】2114．观察下列等式：33333333333333311111231291236123361234101234100123451512345225第3页共8页可以推测：3333123n____________(nN，用含有n的代数式表示)【答案】221(1)4nn15．已知数列}{na中，1)1(nna（*Nn），则4a【答案】216．已知数列na的前n项和为332412nnSn，则这个数列的通项公式为____________【答案】1,12561,1259nnnan三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知数列na的前n和为nS，其中(21)nnSann且113a(1)求23,aa；(2)猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法加以证明。【答案】(1)an=)12(nnSn且a1=31Sn=n(2n-1)an当n=2时,1a+22232aSa,1512a当n=3时,3332153aSaaa,3513a(2)猜想：)12)(12(1nnan证明：i)当n=1时,313111a成立ii）假设当n=k(1,kNk)时,)12)(12(1kkak成立，那么当n=k+1时,S1k=(k+1)1)1(2k1kaSk=k(2k-1)ka两式相减得：kkkkkakkakkSSa)12()12)(1(111第4页共8页12)12)(12(1)12()32(12kkkkkkakkk1)1(2)12(1)32)(12(11kkkkak成立由i)、ii）可知)12)(12(1nnan对于nN都成立。18．数列{}na的前n项和为nS,已知232nnnS,数列{}nb满足2*12()()nnnbbbnN且254,32bb,(1)分别求出数列{}na和数列{}nb的通项公式；(2)若数列{}nc满足,,,nnnancbn为奇数为偶数求数列{}nc的前n项和nT；(3)设2*724,()412nPnnN,当n为奇数时,试判断方程2013nTP是否有解,若有请求出方程的解,若没有,请说明理由.【答案】(1)当1n时,211Sa,当2n时,2213(1)3(1)122nnnnnnnaSSn,所以1(2)nann又1n时,112na,所以)(1Nnnan因为2*12()()nnnbbbnN,所以{}nb为等比数列又254,32bb,所以公比为2,首项为2,所以*2()nnbnN(2)当n为偶数时,13124(...)(...)nnnTaaabbb22424(24...)(22...2)(21)43nnnnn当n为奇数时，1n为偶数，22111(1)2(1)4434(21)(21)4343nnnnnnnT所以2211111434434(21)2(21)4343nnnnnnnnnnTTC即22124(21),43434(21)43nnnnnnTnnn为偶数，为奇数第5页共8页(3)设212132472()242344334123nnnnnfnTPnnn31122(2)()23(2)(23)24633nnnfnfnnn所以当5x时,1(2)()2460nfnfn,此时()fn单调递增.又6264(5)235115033f,1224096(11)2311253201333f,14216384(13)2313299201333f所以原方程无解.19．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）。(Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；(Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【答案】（Ⅰ）依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]-600=500n--100.(Ⅱ）Bn-An=(500n--100)-(490n-10n2)=10n2+10n--100=10[n(n+1)--10].因为函数y=x(x+1)--10在（0，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n(n+1)--10≤12--100；当n≥4时，n(n+1)--10≥20--100.第6页共8页∴仅当n≥4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.20．已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．(1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求c满足的条件；若不能，请说明理由；(2）设32111234212nnnnaaaPaaaaaa，2242345221nnnnaaaQaaaaaa，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．【答案】（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，22rac．n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即21rcc．r＝c－c2．∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，30a，不合题意，舍去.∴当且仅当3c时，数列{}na为等差数列(2）212nnaa＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝rcc－2．221nnaa＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－(rcc)．∴nP11(1)1[2](1)222nnnanncrrcccc21(1)1[2](1)2nnnrQnannrrccccc．11(1)(1)2nnrPQnncnnrrccccc＝2111122rccnnrrrrcccccccc．∵r＞c＞4，∴2rcrc≥＞4，∴2rcc＞2．∴0＜111132442rrcccc＜1．又∵r＞c＞4，∴1rc，则0＜12rccc；01rccc．第7页共8页∴12crcc＜1．11crcc．∴1112ccrrcccc＜1．所以：nP2nnnPQnn又1111122rccccrrrrcccccccc＞－1．所以：-nnPQn综上，对于一切n∈N*，不等式2nnnPQnn恒成立．21．已知函数,数列满足:,证明(Ⅰ);(Ⅱ).【答案】(I）先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…(i)当n=1时,由已知显然结论成立.(ii)假设当n=k时结论成立,即.因为0X1SPAN时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在[0,1]上连续,从而.故n=k+1时,结论成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，，所以，综上所述．(II）设函数，．由（I）知，当时，，从而所以g(x)在(0,1)上是增函数.又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,所以当时，g(x)0成立.于是．第8页共8页故．22．已知数列nbNn是递增的等比数列，且4,53131bbbb．(1）求数列nb的通项公式;(2）若3log2nnba,求证数列na是等差数列;(3）若11nnnaac，求数列nc的前n项和nS．【答案】（Ⅰ）由543131bbbb知31,bb是方程2540xx的两根,注意到nnbb1得131,4bb．43122bbb得22b．4,2,1321bbb等比数列．nb的公比为212bb,1112nnnqbb(Ⅱ）122log3log23132.nnnabnn∵11221nnaann数列