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2.3谓词逻辑归结法基础由于谓词逻辑与命题逻辑不同，有量词、变量和函数，所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理，具体的说就是要将其转化为Skolem标准形，然后在子句集的基础上再进行归结，虽然基本的归结的基本方法都相同，但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。2．3．1Skolem标准形Skolem标准形的定义：前束范式中消去所有的存在量词，则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形，任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem标准形。但是，Skolem标准形不唯一。前束范式：A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。Skolem标准形的转化过程为，依据约束变量换名规则，首先把公式变型为前束范式，然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下：将谓词公式G转换成为前束范式前束范式的形式为：(Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)即：把所有的量词都提到前面去。注意：由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端，即，最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。约束变量换名规则：(Qx)M（x）（Qy）M（y）(Qx)M（x,z）（Qy）M（y,z）量词否定等值式：～(x)M（x）（y）～M（y）～(x)M（x）（y）～M（y）量词分配等值式：(x)(P（x）∧Q（x）)(x)P（x）∧(x)Q（x）(x)(P（x）∨Q（x）)(x)P（x）∨(x)Q（x）消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1,a2,…an）(x)P（x）P（a1）∧P（a2）∧…∧P（an）(x)P（x）P（a1）∨P（a2）∨…∨P（an）量词辖域收缩与扩张等值式：(x)(P（x）∨Q)(x)P（x）∨Q(x)(P（x）∧Q)(x)P（x）∧Q(x)(P（x）→Q)(x)P（x）→Q(x)(Q→P（x）)Q→(x)P（x）(x)(P（x）∨Q)(x)P（x）∨Q(x)(P（x）∧Q)(x)P（x）∧Q(x)(P（x）→Q)(x)P（x）→Q(x)(Q→P（x）)Q→(x)P（x）消去量词量词消去原则：1)消去存在量词，即，将该量词约束的变量用任意常量（a,b等）、或全称变量的函数(f(x),g(y)等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词，则只将其改写成为常量；如果是左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数。2)略去全程量词，简单地省略掉该量词。Skolem定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。注意：公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。例题2-2将下式化为Skolem标准形：～(x)(y)P(a,x,y)→(x)(～(y)Q(y,b)→R(x))解：第一步，消去→号，得：～(～(x)(y)P(a,x,y))∨(x)(～～(y)Q(y,b)∨R(x))第二步，～深入到量词内部，得：(x)(y)P(a,x,y)∧～(x)((y)Q(y,b)∨R(x))＝(x)(y)P(a,x,y)∧(x)((y)～Q(y,b)∧～R(x))第三步，全称量词左移，（利用分配律），得(x)((y)P(a,x,y)∧(y)(～Q(y,b)∧～R(x)))第四步，变元易名，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：(x)((y)P(a,x,y)∧(y)(～Q(y,b)∧～R(x)))＝(x)((y)P(a,x,y)∧(z)(～Q(z,b)∧～R(x)))=(x)(y)(z)(P(a,x,y)∧～Q(z,b)∧～R(x))由此得到前述范式第五步，消去（存在量词），略去全称量词消去(y)，因为它左边只有(x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：(x)(z)(P(a,x,f(x))∧～Q(z,b)∧～R(x))消去(z)，同理使用g(x)代替之，这样得到：(x)(P(a,x,f(x))∧～Q(g(x),b)∧～R(x))则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：P(a,x,f(x))∧～Q(g(x),b)∧～R(x)2.3.2子句集文字：不含任何连接词的谓词公式。子句：一些文字的析取（谓词的和）。子句集：所有子句的集合对于任一个公式G，都可以通过Skolem标准形，标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过是一些文字的析取，是一种比较简单的形式，所以对G的讨论就用对子句集S的讨论来代替，以便容易处理。子句集S可由下面的步骤求取：1.谓词公式G转换成前束范式2.消去前束范式中的存在变量，略去其中的任意变量，生成SKOLEM标准形3.将SKOLEM标准形中的各个子句提出，表示为集合形式教师提示：为了简单起见，子句集生成可以理解为是用，取代SKOLEM标准形中的Λ，并表示为集合形式。注意：SKOLEM标准形必须满足合取范式的条件。即，在生成子句集之前逻辑表达式必须是各谓词表达式或谓词或表达式的与。定理谓词表达式G是不可满足的当且仅当其子句集S是不可满足的公式G与其子句集S并不等值，但它们在不可满足的意义下是一致的。因此如果要证明A1∧A2∧A3→B，只需证明G＝A1∧A2∧A3∧～B的子句集是不可满足的，这也正是引入子句集的目的。注意：公式G和子句集S虽然不等值，但是它们的之间一般逻辑关系可以简单的说明为：G真不一定S真，而S真必有G真，即，SG。在生成SKOLEM标准形时将存在量词用常量或其他变量的函数代替，使得变量讨论的论域发生了变化，即论域变小了。所以G不能保证S真。定理的推广对于形如G=G1ΛG2ΛG3Λ…ΛGn的谓词公式，G的子句集的求取过程可以分解成几个部分单独处理。如果Gi的子句集为Si，则有S'=S1∪S2∪S3∪…∪Sn，虽然G的子句集不为S'，但是可以证明：SG与S1∪S2∪S3∪…∪Sn在不可满足的意义上是一致的。即SG不可满足S1∪S2∪S3∪…∪Sn不可满足由上面的定理，我们对SG的讨论，可以用较为简单的S1∪S2∪S3∪…∪Sn来代替。为方便起见，也称S1∪S2∪S3∪…∪Sn为G的子句形，即：SG＝S1∪S2∪S3∪…∪Sn。根据以上定理可对一个谓词表达式分而治之，化整为零，大大减少了计算复杂度。例2－3对所有的x,y,z来说，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句集。解：这里我们首先引入谓词：P(x,y)表示x是y的父亲Q(x,y)表示x是y的祖父ANS(x)表示问题的解答于是有：对于第一个条件，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父，一阶逻辑表达式如下：A1：(x)(y)(z)(P(x,y)∧P(y,z)→Q(x,z))则把A1化为合取范式，进而化为Skolem标准形，表示如下：SA1：～P(x,y)∨～P(y,z)∨Q(x,z)对于第二个条件：每个人都有父亲，一阶逻辑表达式如下：A2：(y)(x)P(x,y)化为Skolem标准形，表示如下：SA2：P(f(y),x)结论：某个人是它的祖父B：(x)(y)Q(x,y)否定后得到子句：S～B：～Q(x,y)∨ANS(x)则得到的相应的子句集为：{SA1，SA2，S～B}解毕。